高中数学导数及其应用多选题专题复习附解析(1)

由天下分享时间：2025/1/7 21:29:59 加入收藏我要投稿点赞

一、导数及其应用多选题

1．已知函数f?x??sinax?asinx，x??0,2??，其中a?lna?1，则下列说法中正确

的是（）

A．若f?x?只有一个零点，则a??0,??1?? 2?B．若f?x?只有一个零点，则f?x??0恒成立 C．若f?x?只有两个零点，则a??1,? D．若f?x?有且只有一个极值点x0，则f?x0??【答案】ABD 【分析】

利用f?0??0以及零点存在定理推导出当a?1时，函数f?x?在?0,2??上至少有两个零点，结合图象可知当0?a?1时，函数f?x?在?0,2??上有且只有一个极值点，利用导数分析函数f?x?在?0,2??上的单调性，可判断A选项的正误；利用A选项中的结论可判断B选项的正误；取a??3??2?a?1?3a?12??恒成立

1，解方程f?x??0可判断C选项的正误；分析出当f?x?在21110,2?0?a?a?上只有一个极值点时，，分、、?a?1三种情况讨??0?a?1333论，结合sinx?x可判断D选项的正误. 【详解】

构造函数g?x??x?lnx?1，其中x?0，则g??x??1?当0?x?1时，g??x??0，函数g?x?单调递减；当x?1时，g??x??0，此时，函数g?x?单调递增. 所以，g?x?min?g?1??0.

1x?1?. xxa?lna?1，?a?0且a?1.

f?x??sinax?asinx，则f?0??0.

当a?1时，f?a??a?????sin?asin?sin?a?0，?2222???3?f??23a?3?3a???sin?asin?sin?a?0， ?222?由零点存在定理可知，函数f?x?在???3?,22???内至少有一个零点， ?所以，当a?1时，函数f?x?在区间?0,2??上至少有两个零点，所以，当函数f?x?在区间?0,2??上只有一个零点时，0?a?1.

对于A选项，当0?a?1时，f??x??acosax?acosx?a?cosax?cosx?.

0?a?1，则0?a???，0?2a??2?， 22a????f????acos?0，f??2???a?cos2a??cos2???a?cos2a??1??0， 22??由零点存在定理可知，函数f?x?在区间?令f??x??0，可得cosax?cosx，

当x??0,2??时，0?ax?x?2?，由cosax?cosx?cos?2??x?，可得

???,2??上至少有一个极值点， ?2?ax?2??x，解得x?2?， a?12?. a?1所以，函数f?x?在区间?0,2??上有且只有一个极值点x?作出函数y1?cosax与函数y2?cosx在区间?0,2??上的图象如下图所示：

由图象可知，函数y1?cosax与函数y2?cosx在区间?0,2??上的图象有且只有一个交点，

记该交点的横坐标为x0，当0?x?x0时，cosax?cosx，此时f??x??0；当x0?x?2?时，cosax?cosx，此时f??x??0.

所以，函数f?x?在区间?0,x0?上单调递增，在区间?x0,2??上单调递减. 所以，f?x?max?f?x0??f?0??0，又f?2???sin2a?.

若函数f?x?在区间?0,2??上有且只有一个零点，则f?2???sin2a??0.

0?a?1，则0?2a??2?，所以，0?2a???，解得0?a?，A选项正确；

12对于B选项，若函数f?x?在区间?0,2??上有且只有一个零点时，

由A选项可知，函数f?x?在区间?0,x0?上单调递增，在区间?x0,2??上单调递减.

f?0??0，f?2???sin2a??0，所以，对任意的x??0,2??，f?x??0，B选项正