清华大学2017年自主招生与领军计划数学试题
（1）设函数f(x)?e2x?ex?ax，若对?x?0,f(x)?2，则实数a的取值范围是
(A)(??,3] (B)[3,??) (C)(??,2] (D)[2,??)
解答：问题等价于e2x?ex?ax?2在[0,??)上恒成立；
记g(x)?e答案A.
（2）设A,B为两个随机事件，且A?B,0?P(A)?1，则
2x?ex，h(x)?ax?2，两函数均过(0,2)，且g?(0)?3，可知a?(??,3].
(A)P(AB)?1?P(B) (B)P(AB)?1?P(B)
(C)P(B|A)?P(B) (D)P(B|A)?P(B)
解答：（A）P(AB)?1?P(AB)?1?P(A)，所以A错；
（B）P(AB)?P(A（C）P(B|A)?B)?1?P(AB)?1?P(B)，所以B对；
P(AB)P(A)??1，所以C错； P(A)P(A)P(B?A)P(B)?P(A)?，所以D错；答案B.
1?P(A)1?P(A)（D）P(B|A)?
（3）从0,1,2,,9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5242，
这样的四位数共有
(A)1692个 (B)3672个 (C)3708个 (D)3888个
解答：十个数中先选出3个数，再从中选出一个作为用两次的，再选出两个位置放这个数，
32剩下两个数再排列一下，共有C10?3?C4?2?4320个.
下面考虑0被排在了首位的情况：
21°0在后三位还出现了一次：则在剩下9个数中再选两个，于是有C9?3!?216个.
2°0只出现在首位：则在剩下9个数中再选两个，其中一个重复两次，于是有
C92?2?3?216个.
于是符合题目要求的四位数共有4320?216?216?3888个. 答案D.
（4）已知集合M?{?1,0,1}，N?{2,3,4,5,6}，设映射f:M?N满足：对任意的x?M,x?f(x)?xf(x)是奇函数，这样的映射f的个数
(A)25 (B)45 (C)50 (D)100
解答：设g(x)?x?f(x)?xf(x)
则g(?1)??1，g(0)?f(0)，g(1)?1?2f(1)，g(?1),g(1)均为奇数，所以只需令
f(0)为奇数，所以共有5?2?5?50种选择. 答案C.
（5）若关于x的方程2x?1?acos(1?x)?0只有一个实数解，则实数a的值
(A)等于?1 (B)等于1 (C)等于2 (D)不唯一
解答：显然2x?1与acos(1?x)均关于x?1对称，若有x?1之外的解，则均成对出现，所
以要只有一个解，则只能在x?1处，此时a??1 当a??1时，x?1时2
（6）设a,b为非零向量，且b?2a，则b与b?a夹角的最大值为（B）
x?1?1，?1?acos(1?x)?1，确实只有x?1一个解.答案A.
(A)?12 (B)
?6
(C)
?4
(D)? 3解答：因为b?2a，取OD?b，则平移向量a的起点到点O，则向量a的终点在以O为
圆心，以
b2为半径的圆上，则b与b?a夹角为?COD，根据几何意义可知，当CD与圆O相切时，夹角最大，此时，OC?CD，则sin?COD?OC1??,则?COD?. OD26所以???0,
???. 答案B. ?6??
（7）已知三棱锥P?ABC的底面为边长为3的正三角形，且PA?3,PB?4,PC?5,则
P?ABC的体积为（C）
(A)3 (B)10 (C)11 (D)23 解答：因为AB?AC?AP?3,过点A向面PBC作垂线PH，因为斜边长相等，则射
PBC的外心，因为PBC为直角
影相等，可知H到顶点P,B,C距离相等，因此H为三角形，所以H为PC的中点.
AH?平面PBC，则AH?AC2?CH2?11, 2所以VP?ABC?VA?PBC?
1111??3?4??11. 答案C. 3221m2x)?（8）设函数f(x)?x?2x?(2?m)x?2(?x,f(x)?0,则实数m的取值范围是（A）
432m4?若1，对任意的实数
(A)[0,??) (B)[,??) (C)[0,1] (D)[,1]
解答：：f(x)?0?x4?2x3?2x2?2x?1?mx2?4x?4?0
即mx?4x?4??x?2x?2x?2x?1?m?x?2????x?1?24321212??????22?x2?1?
则，题目等价于对任意的实数x, m?x?2????x?1?22?x2?1?恒成立，
当x?2时，不等式显然成立，当x?2时，题目等价于
?x?1??x2?1?对任意的实数x,m??恒成立， 2?x?2?2?x?1??x2?1??x?1??x2?1?因为?的最大值为0， ?0，而且0能取到，所以?22?x?2??x?2?22因此m?0. 答案A.
清华大学2017年领军计划试题
