清华大学2017年自主招生与领军计划数学试题
(1)设函数f(x)?e2x?ex?ax,若对?x?0,f(x)?2,则实数a的取值范围是
(A)(??,3] (B)[3,??) (C)(??,2] (D)[2,??)
解答:问题等价于e2x?ex?ax?2在[0,??)上恒成立;
记g(x)?e答案A.
(2)设A,B为两个随机事件,且A?B,0?P(A)?1,则
2x?ex,h(x)?ax?2,两函数均过(0,2),且g?(0)?3,可知a?(??,3].
(A)P(AB)?1?P(B) (B)P(AB)?1?P(B)
(C)P(B|A)?P(B) (D)P(B|A)?P(B)
解答:(A)P(AB)?1?P(AB)?1?P(A),所以A错;
(B)P(AB)?P(A(C)P(B|A)?B)?1?P(AB)?1?P(B),所以B对;
P(AB)P(A)??1,所以C错; P(A)P(A)P(B?A)P(B)?P(A)?,所以D错;答案B.
1?P(A)1?P(A)(D)P(B|A)?
(3)从0,1,2,,9中选出三个不同数字组成四位数(其中的一个数字用两次),如5242,
这样的四位数共有
(A)1692个 (B)3672个 (C)3708个 (D)3888个
解答:十个数中先选出3个数,再从中选出一个作为用两次的,再选出两个位置放这个数,
32剩下两个数再排列一下,共有C10?3?C4?2?4320个.
下面考虑0被排在了首位的情况:
21°0在后三位还出现了一次:则在剩下9个数中再选两个,于是有C9?3!?216个.
2°0只出现在首位:则在剩下9个数中再选两个,其中一个重复两次,于是有
C92?2?3?216个.
于是符合题目要求的四位数共有4320?216?216?3888个. 答案D.
(4)已知集合M?{?1,0,1},N?{2,3,4,5,6},设映射f:M?N满足:对任意的x?M,x?f(x)?xf(x)是奇函数,这样的映射f的个数
(A)25 (B)45 (C)50 (D)100
解答:设g(x)?x?f(x)?xf(x)
则g(?1)??1,g(0)?f(0),g(1)?1?2f(1),g(?1),g(1)均为奇数,所以只需令
f(0)为奇数,所以共有5?2?5?50种选择. 答案C.
(5)若关于x的方程2x?1?acos(1?x)?0只有一个实数解,则实数a的值
(A)等于?1 (B)等于1 (C)等于2 (D)不唯一
解答:显然2x?1与acos(1?x)均关于x?1对称,若有x?1之外的解,则均成对出现,所
以要只有一个解,则只能在x?1处,此时a??1 当a??1时,x?1时2
(6)设a,b为非零向量,且b?2a,则b与b?a夹角的最大值为(B)
x?1?1,?1?acos(1?x)?1,确实只有x?1一个解.答案A.
(A)?12 (B)
?6
(C)
?4
(D)? 3解答:因为b?2a,取OD?b,则平移向量a的起点到点O,则向量a的终点在以O为
圆心,以
b2为半径的圆上,则b与b?a夹角为?COD,根据几何意义可知,当CD与圆O相切时,夹角最大,此时,OC?CD,则sin?COD?OC1??,则?COD?. OD26所以???0,
???. 答案B. ?6??
(7)已知三棱锥P?ABC的底面为边长为3的正三角形,且PA?3,PB?4,PC?5,则
P?ABC的体积为(C)
(A)3 (B)10 (C)11 (D)23 解答:因为AB?AC?AP?3,过点A向面PBC作垂线PH,因为斜边长相等,则射
PBC的外心,因为PBC为直角
影相等,可知H到顶点P,B,C距离相等,因此H为三角形,所以H为PC的中点.
AH?平面PBC,则AH?AC2?CH2?11, 2所以VP?ABC?VA?PBC?
1111??3?4??11. 答案C. 3221m2x)?(8)设函数f(x)?x?2x?(2?m)x?2(?x,f(x)?0,则实数m的取值范围是(A)
432m4?若1,对任意的实数
(A)[0,??) (B)[,??) (C)[0,1] (D)[,1]
解答::f(x)?0?x4?2x3?2x2?2x?1?mx2?4x?4?0
即mx?4x?4??x?2x?2x?2x?1?m?x?2????x?1?24321212??????22?x2?1?
则,题目等价于对任意的实数x, m?x?2????x?1?22?x2?1?恒成立,
当x?2时,不等式显然成立,当x?2时,题目等价于
?x?1??x2?1?对任意的实数x,m??恒成立, 2?x?2?2?x?1??x2?1??x?1??x2?1?因为?的最大值为0, ?0,而且0能取到,所以?22?x?2??x?2?22因此m?0. 答案A.
清华大学2017年领军计划试题
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