所以此方程表示以（ 1，-2，-1）为球心，以
6 为半径的球面 .
4. 求与坐标原点 O 及点（ 2,3,4）的距离之比为 1:2 的点的全体所组成
的曲面的方程，它表示怎样的曲面？
解 设动点坐标为（
，根据题意有 x, y, z）
( x 0)
2
( y 0)( y 3)
22
( z 0)( z 4)4
2
化简整理得
( x 2)2
22
1 ,2 2 2 ( 29). 3
( x
它表示以（
2 4 2 , 1, ）为球心，以 29为半径的球面 . 3 3 3
z
2
)
3
2
( y 1)2 ( z
)3
2
5. 将 xOz坐标面上的抛物
5x绕 x 轴旋转一周，求所生成的旋
2
线转曲面的方程 .
解 以
y
2
z代替抛物线方程 z(
y z)
22
2 2
2
5x中的 z，得
5x，
即
y z 5x.
注 xOz 面上的曲线
2
F ( x, z) 0 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转
z) 0.z
2 2
曲面方程为 F ( x,
y
2 2
6. 将 xOz坐标面上的
x
9 绕 z 轴旋转一周，求所生成的旋
2
圆转曲面的方程 .
解 以
x
2
y代替圆方程 x(
2
2
2
z
2
9 中的 x ，得
即
x
x y ) z 9,
2 2 9.yz
222
7. 将 xOy 坐标面上的双曲线
4x
2
9 y
2
36分别绕 x 轴及 y 轴旋转
一周，求所生成的旋转曲面的方程 .
解 以
y
2
z
2
代替双曲线方程
4x2
9 y 36中的 y，
2
得该双曲线绕 x 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为
4 x 9(
即
2
2
2
2
y
2
2
4 x
以
9( y
z)36, 2
z)36.
2
2
2 2
x z 代替双曲线方程 4x
4(
x
2
2
2 2
9 y
2
36 中的 x，得该
双曲线绕 y 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为
即
4( x
z)9 y 36, 2 2
36. z)9 y
（2）
8. 画出下列各方程所表示的曲面：
a22a 2（1） ( x ) y ( ) ;
2 2
2 2
2 x z 1; （3） （4） y
9 4
x4
2
z 0;
y1; 9
2
（ 5） z
2 x .
2
解 （1）如图 8-11（a）； （2）如图 8-11（ b）； （ 3）如图 8-11（c）；
（4）如图 8-11（d）； （ 5）如图 8-11（ e）.
9. 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什
么图形： （1） x
2;
y
2
x 1;
y
2
2
（ 2） y
（3） x
2
4;
（ 4） x 1.
解 （ 1） x
2 在平面解析几何中表示平行于
y 轴的一条直线，在
空间解析几何中表示与 yOz 面平行的平面 . （2） y
x 1在平面解析几何中表示斜率为
2
1， y 轴截距也为 1 的
一条直线，在空间解析几何中表示平行于 （3） x
z 轴的平面 .
2 的
2
2
y
4在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为
2
x y 4, 圆，在空间解析几何中表示母线平行于 z 轴，准线为
z 0
的圆柱面.
（4） x
2
y
2
1在平面解析几何中表示以 x 轴为实轴， y 轴为虚轴
z 轴，准线为
的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于
x
2
y
2
1,
的双曲柱面 .
z 0
10. 说明下列旋转曲面是怎样形成的：
（1）
x
4
2
2
y 9
y
2
2
（3） x
z 1; 9 2 z1;y9
2
2
2
（ 2） x
2
y 4
2
z
2
1;
2
（ 4） ( z a)
2
2
x y.
2
解
x（ 1）
4
2
z1表示 xOy 面上的椭圆 x9 4
x或表示 xOz面的椭圆
2
y
9
2
1绕 x
2
轴旋转一周而生成的旋转曲面，
z
4
x 轴旋转一周而生成的旋转曲面 .
9
绕 1
（2） x
2
y
2
4
z
2
1表示 xOy 面上的双曲线 x
2
y
2
旋转一周而生成的旋转曲面， 或表示 yOz 面的双曲线
4
2 y4 yx
2
1绕 y 轴 z
2
1
绕 y 轴旋转一周而生成的旋转曲面 .
（3） x
2
y
2
z
2
1表示 xOy 面上的双曲线 x
2
1绕 x 轴 z
2
旋转一周而生成的旋转曲面，或表示 x 轴旋转一周而生成的旋转曲面 .
xOz面的双曲线
2
1绕
（4） ( z
a)
2
x y 表示 xOz面上的直线 z x a或
yOz 面的直
.
2
2
z
x a 绕 z 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示 y a或 z
线z
y a绕 z 轴旋转一周而生成的旋转曲面
11. 画出下列方程所表示的曲面：
（1） 4x
2
y
2
2
z
2
4;
（2） x
2
y 4 z 4;
22
z x
（3）
y
2
.
3
4 9
解 （1）如图 8-12（a）； （2）如图 8-12（ b）； （ 3）如图 8-12（c）；
12. 画出下列各曲面所围立体的图形：
（1） z
0, z 3, x y 0, x
2
2
3y 0, x
2
2
2
y
2
2
1（在第一
卦限内）； （2）x 限内） .
解 （ 1）如图 8-13 所示；
（ 2）如图 8-14 所示.
0, y 0, z 0, x y R, y z R （在第一卦
2
高等数学课后习题及解答
