i
取
j 2 1
k
3 ( 1,1, 1), 1
n s1 s2
1 0
则过点（ 1,2,1），以 n 为法向量的平面方程为
1 ( x 1) 1 ( y 2) 1 ( z 1) 0,
即
x y z 0.
2y z 1 0上的投影 .
2y z 1 0垂
12.求点（ -1,2,0）在平面 x
解 作过已知点且与已知平面垂直的直线 .该直线与平面的交 点即为所求 .根据题意，过点（ -1,2,0）与平面 x 直的直线为
x 1
1
将它化为参数方程
x
z 0
,1
1 t , y 2 2t, z
y 2
2
t , 代入平面方程得
1 t 2(2 2t ) ( t ) 1 0, 2
整理得 t .从而所求点（ -1,2,0）在平面 x 2y z 1 0 上的
3
52 2
投影为（ , , ）.
3 3 3
x y z 1 0,
13.求点 P（ 3，-1，2）到直线
2x y z 4 0 i
j 1
k
的距离.
解 直线的方向向量
s 1
2
1 (0, 3, 3).
1 1
在直线上取点（ 1，-2， 0），这样，直线的方程可表示成参数方
程形式
x 1, y
2 3t , z
3t.
（1）
又，过点 P（3，-1，2），以 s
(0, 3, 3) 为法向量的平面方程为
3( y 1) 3( z 2) 0,
即
y z 1 0.
1
（2）
将式（1）代入式（2）得t
1 3
，，于是直线与平面的交点为 （1, , ）2 2 2
故所求距离为
d
(3 1)
2
( 1
1
)
2
2
(2
3
)2
2
3 2
.2
14. 设 M0 是直线 L 外一点， M 是直线 L 上任意一点，且直线的方向向
量为 s，试证：点 M0 到直线 L 的距离
d
M 0M s
s
.
证 如图 8-9，点 M0 到直线 L 的距离为 d.由向量积的几何意义知
M 0M s 表示以 M 0M ， s为邻边的平行四边形的面积
.而
M 0M s
s
s 为边长的该平面四边形的高， 即为点 M 0 到直线
表示以
L的距离.于是
d
M 0M s
s
.
15. 求直线
2 x 4 y z 0,
3x y 2z 9 0
在平面 4x y z 1上的投
影直线的方程 .
解 作过已知直线的平面束， 在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求
.
设过直线
2x 4 y z 0,
3x y 2z 9 0
的平面束方程为
2x 4y z
(3x y 2z 9) 0,
) y (1 2 ) z 9
0.
经整理得 由 得
(2 3 )x ( 4 (2 3 ) 4 ( 4
13 11
.代入平面束方程，得
) ( 1) (1 2 ) 1 0,
17x 31y 37z 117 0.
因此所求投影直线的方程为
17x 31y 37z 117 0, 4x y z 1.
16. 画出下列各平面所围成的立体的图形 .
（1） x 0, y 0, z 0, x 2, y 1,3x 4 y 2z 12 0;
y . （2） x 0, z 0, x 1, y 2, z 4
解 （ 1）如图 8-10（ a）； （2）如图 8-10（b） .
1.一球面过原点及 A（ 4，0， 0）， B（ 1，3， 0）和 C（0，0， -4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径 .
解 设所求球面的方程为
( x a) 2 ( y b) 2 ( z c) 2
R 2
，
将已知点的坐标代入上式，得
a
2
b
2 c
2 R2
,
（1）
(a 4)2
b
2
c
2
R2
,
（2）( a 1) 2
(b 3) 2
c2
R2
,
（3）
a
2
b
2
( 4 c) 2
R 2
，
（4）
联立（ 1）（ 2）得a
2, 联立（ 1）（4）得 c 2, 将a 2代入
（2）（ 3）并联立得 b=1，故 R=3.因此所求球面方程为
( x 2)2 ( y 1) 2 ( z 2) 2
9,
其中球心坐标为
(2,1, 2), 半径为 3.
2. 建立以点（ 1，3， -2）为球心，且通过坐标原点的球面方程 .
解 设以点（ 1，3， -2）为球心， R为半径的球面方程为
( x 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 R2
,
球面经过原点，故
R
2
(0 1)2
( 0 3) 2 (0 2) 2 14, 从而所求球面方程为
( x 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 14.
3. 方 程
x2
y
2
z
2
2 x
4 y 2 z 0表示什么曲面？
解 将已知方程整理成
( x 1)2 ( y 2)2 ( z 1) 2 ( 6) 2
,
3）
（
高等数学课后习题及解答
