参数方程为
3
x 0 2
x y 1 2
5 z
2. 3
2t , 3
t ,
y 2
z
5
3t.
2
注 由于所取的直线上的点可以不同， 因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的 4. 求过点（ 2， 0，-3）且与直线
.
x 2 y 4z 7 0, 3x 5 y 2z 1 0
垂直的平面方程 .
解 根据题意， 所求平面的法向量可取已知直线的方向向量， 即
i
n s 1
3
j 2 5
k 4 2
( 16,14,11),
故所求平面方程为
16( x 2) 14( y 0) 11(z 3) 0.即 16x 14y 11z 65 0.
5. 求直线
5 x 3y 3z 9 0, 3x 2 y z 1 0
与直线
2 x 2 y z 23 0, 3x 8 y z 18 0
的夹角的余弦 .
解 两已知直线的方向向量分别为
i s1
j k
i j k 1
5 3
3 3 (3,4, 1), s2 2 1
2 2 3 8
1 (10, 5,10),
因此，两直线的夹角的余弦
cos
(cos s1 , s2 )
s1 s2 s1 s2
2
2
2
2
3 10 4 5 1 10
6. 证明直线
3
2
4
2
( 1) 10
与直线
( 5)10
0.
x 2 y z 7, 2x y z 7
3x 6 y 3z 8, 2x y z 0
平
行.
证 已知直线的方向向量分别是
i s1
j 2
k
1 (3,1,5), s2 1
i 3 2
j 6 1
k 1
1 3 ( 9, 3, 15),
2 1
由 s2
3s1知两直线互相平行 .
x 2 z 1和 y 3z 2平行的直线
7. 求过点（0,2,4）且与两平面 方程.
解 所求直线与已知的两个平面平行， 因此所求直线的方向向量
可取
i
j k 2 3
( 2,3,1),
s n1 n2 1 0
0 1
故所求直线方程为
x 0 2
y 2 3
z 4
.1
不妨设所求直线
注 本题也可以这样解： 由于所求直线与已知的两个平面平行， 则可视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线， 为
x 2z a, y 3z b.
将点（ 0，2， 4）代入上式，得
a 8, b 10.故所求直线为
x 2z 8, y 3z
10.
x 4 y 3
8. 求过点（ 3， 1，-2）且通过直线 5 2
x 4 y 3
解 利用平面束方程，过直线 5 2
z 的平面方程 .
1
z 的平面束方程 1
为
y 3 ( z) 0,
5 2 2
11
.因此所求平面方程为 将点（ 3，1， -2）代入上式得
20
x 4 y 3 11 ( y 3 z) 0, 5 2 20 2
x 4 y 3
即
8x 9y 22z 59 0.
9. 求直线 x y 3z 0,
与平面 x y z 1 0的夹角.
x y z 0
i
j k
解 已知直线的方向向量
s 1 1
3 ( 2,4, 2), 平面
1
1
1
的法向量 n
(1, 1, 1).
设直线与平面的夹角为
, 则
sin cos(n, s) s n
2 1 4 ( 1) ( 2) ( 1)
s n
2
2
42
( 2)2
12
( 1)2
( 1)
2
即
0. 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系；
（1）
x 3 y 4 z 和 4x
2 y
x 2 y z
7 3
2z 3 ；
（2）
和3 2 7
3x
2y 7z 8；
（3） x 2 y 2 z 3 3
1 4 和x y z 3.
解 设直线的方向向量为 s，平面的法向量为 n ，直线与平面
的夹角为 , 且
sin
cos(n, s)
s n .
s n
（1） s ( 2, 7,3), n (4, 2, 2),
0,
sin
( 2) 4 ( 7) ( 2) 3 ( 2) ( 2) ( 7)
2
2
3
2
4
2
( 2)
2
( 2)
2
0,
则
0.故直线平行于平面或在平面上，
现将直线上的点 A（-3，-4，
0）代入平面方程，方程不成立 .故点 A 不在平面上，因此直线不在平面上，直线与平面平行 . （2） s
(3, 2,7), n (3, 2,7), 由于 s n 或
3 3 ( 2) ( 2) 7 7 3
2
2
2
2
2
2
sin
1,
( 2)73( 2)7
知
2
（3） s (3,1, 4), n (1,1,1), 由于 s n 0或
，故直线与平面垂直 .
sin
3 1 1 1 ( 4) 1 3
2
1
2
( 4)
2
1
2
1
2
1
2
0,
知
0, 将直线上的点
A（ 2，-2， 3）代入平面方程，方程成立，即
点 A 在平面上 .故直线在平面上 . 11.求过点（ 1,2,1）而与两直线
x 2 y z 1 0, x y z 1 0
和
2 x y z 0, x y z 0
平行的平面
的方程.
解 两直线的方向向量为
i 1
j k i 2 1
j k
(0, 1, 1),
s1 1 2
1 (1, 2, 3), s2 1 1
1 1 1 1
高等数学课后习题及解答
