x x1 y y1 z z1
x2 x1 y2 y1 z2 z1 0,
x3 x1 y3 y1 z3 z1
它就表示过已知三点 Mi（ i=1,2,3）的平面方程 . 4. 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面： （1）x=0; （3）2x-3y-6=0; （5）y+z=1; （7）6x+5y-z=0.
解 （ 1）—（ 7）的平面分别如图 8— 8（a）—（ g） . （1）x=0 表示 yOz 坐标面.
（2） 3y-1=0; （4） x-
3y=0;
（ 6）x-2z=0;
1
（2）3y-1=0 表示过点（ 0, ,0）且与 y 轴垂直的平面 .
3
（3）2x-3y-6=0 表示与 z 轴平行的平面 . （4）x-
3y=0 表示过 z 轴的平面 .
（5）y+z=1表示平行于 x 轴的平面 . （6）x-2z=0 表示过 y 轴的平面 . （7）6x+5y-z=0表示过原点的平面 .
5. 求平面 2x
2y z 5 0与各坐标面的夹角的余弦
.
解 平面的法向量为 n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面 xOy，
yOz，zOx的夹角分别为
1
, 2 ,
3 .则根据平面的方向余弦知
cos 1
cos
n k n k
n i n i n j n j
(2, 2,1) (0,0,1) 2
2
( 2)
2
1 ,2
11 3
2 ,3 2 3
.
cos 2 cos
( 2, 2,1) (1,0,0)
3 1 ( 2, 2,1) ( 0,1,0)
3 1
cos 3 cos
6. 一平面过点（1，0，-1）且平行于向量 a 试求这个平面方程 .
(2,1,1) 和b (1, 1,0) ，
解 所求平面平行于向量
a 和b，可取平面的法向量
i 2 1
j 1
k 1
(1,1, 3) .
n a b
1 0
故所求平面为 1 ( x
1) 1 ( y 0) 3( z 1) 0，即
x y 3z 4 0 .
7. 求三平面 x 3y z 1,2x y z 0, x 2 y 2z 3的
交点.
解 联立三平面方程
x 3y z 1, 2x y z 0,
x 2y 2z 3.
解此方程组得
x 1, y 1, z 3.故所求交点为（ 1， -1，3） .
8. 分别按下列条件求平面方程：
（ 1）平行于 xOz面且经过点（ 2，-5， 3）； （ 2）通过 z 轴和点（ -3，1， -2）；
（ 3）平行于 x 轴且经过两点（ 4， 0，-2）和（ 5，1， 7） . 解
（ 1 ）所求平面平行于 xOz 面，故设所求平面方程为
By D 0.将点（ 2，-5，3）代入，得
5B D 0，即 D 5B.
因此所求平面方程为
By 5B 0，即 y 5 0.
（2） 所求平面过 z 轴，故设所求平面为
Ax By 0 .将点（ -3，1
-2）代入，得
3A B
0，即 B 3A.
因此所求平面方程为
Ax 3Ay
0 ，即 x 3y 0.
，
（3） 所求平面平行于 x 轴，故设所求平面方程为
By Cz D 0.
将点（ 4，0， -2）及（ 5， 1， 7）分别代入方程得
2C D 0
及
B 7C D 0.
C
D 2
, B 9 2
D .
因此，所求平面方程为
9 Dy D 2 2 z D 0 ， 即
9 y z 2 0.
9. 求点（ 1,2,1）到平面 x
2 y 2z 10 0 的距离.
解 利用点
M 0 ( x0 , yo , zo ) 到平面 Ax By Cz 的距离公式
d
Ax0
By0 Cz0 D
2
2
A
B
2
C
1 2 2 2 1 10
3
1
2
2
2
2
2
1. 3
0
D 1. 求过点（ 4，-1，3）且平行于直线
x 3 y z 1 2
1
5
的直线方程 .
解 所求 直线与已 知直线平行 ， 故所求直线的方向向 量
s (2,1,5)，直线方程即为
x 4
2.
y 1 z 3
2 1 5
求过两点 M 1(3, 2,1) 和M 2 ( 1,0,2) 的直线方程 .
解 取所求直线的方向向量
.
s M 1M 2
( 1 3,0 ( 2),2 1) ( 4,2,1) ，
因此所求直线方程为
x 3 4
y 2 2
z 1 1
.
3. 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1, 2 x y z 4.
解 根据题意可知已知直线的方向向量
i s 1
j 1
k 1
y z 1,
1 1 ( 2,1,3).
2
3 5 , z .这取 x=0，代入直线方程得 解 得 y
2 y z 4. 2
3 5
样就得到直线经过的一点（ 0, , ）.因此直线的对称式方程为
2 2
高等数学课后习题及解答
