F1 x1 sin 1 F2 x2 sin
2 0 ，
即
F1 x1 sin 1
F2 x2 sin
2
.
6.
求向量 a （4，- 3,4）在向量 b （2,2,1）上的投影.
a b ( 4, 3,4) (2,2,1) 6 解
Pr jba
.
b
2
2
2
2
1
2
2 3
7.
设a
(3,5, 2),b (2,1,4) ，问 与 有怎样的关系，能使
a
b与 z 轴垂直？
解 a b = （3,5 ，-2 ）+ （2,1,4 ）
=（ 3
2 ,5 , 2 4 ）.
要
a b与 z 轴垂直，即要（ a
b ）
（0,0,1 ），即
（
a
b） ?（0，0,1 ）=0， 亦即
（ 3
2 ,5
, 2 4
）?（0,0,1 ）=0，
故（
2 4
）=0，因此
2
时能使
a b与 z 轴垂直.
8.
试用向量证明直径所对的圆周角是直角.
证 如图 8-7 ，设 AB是圆 O的直径，C点在圆周上，要证∠ ACB= 2
只要证明 AC
BC 0 即可. 由
AC BC =( AO OC) ( BO OC)
，
= AO
BO AO OC OC BO OC
2
2
2
=
AO AO OC AO OC OC
0 .
故 AC
BC , ∠ACB为直角.
9.
已知向量 a 2i 3 j k, b i
j 3k和c i 2 j ，计算：
（3）(a
（1） (a
b)c (a c)b （2）(a b) (b c)
b (2, 3,1) (1, 1,3) 8，
b) c
解 （1） a
a c (2, 3,1) (1, 2,0) 8，
(a b)c (a c)b 8(1, 2,0) 8(1, 1,3) (0, 8, 24)
（2） a
8i 24k .
b=（2，-3,1 ）+（1，-1,3 ）=（3，-4,4 ），
， b c=（ 1， -1,3 ） +（ 1， -2,0 ） =（ 2， -3,3 ）
i
j k
(a b) (b c) 3
4 4 (0, 1, 1) 3 3
j k .
2
2
（3） (a
3 1 1 3 2 0
2.
b) c 1
1
10. 已知 OA i 3k,OB j 3k ，求△ OAB的面积.
解 由向量积的几何意义知
1
S= OA OB ，
2
△OAB
i
2
j k
OA OB
1 0 3 ( 3, 3,1) ， 0 1 3
2
11. 已知 a ( ax , ay , az ), b (bx ,by , bz ), c (cx , cy ,cz ) ，试利用
行列式的性质证明：
OA OB
( 3) ( 3) 1
2
19
S △OAB
19
(a b) c (b c) a (c a) b
ax ay az bx by bz
因为 (a b) c bx by bz , (b c) a cx cy cz
cx cy cz ax ay az
cx cy bx by
而由行列式的性质知
证
cz bz
(c a) b ax ay az ，
ax ay az bx by cx cy
bx cx
by cy
bz cx cy
by
cz bz
bz cz
cz = ax ay az ， 故
ax ay az bx
(a b) c (b c) a (c a) b.
12. 试用向量证明不等式：
a
2 1
a
2 2
a
2 3
b
2 1
b
2 2
b
2 3
a1b1 a2b
2
a3b3 ，
其中 a1, a2 ,a3 , b1, b2 ,b3 为任意实数 . 并指出等号成立的条件. 证 设向量 a （ a1 , ， b （ b1, a2 , a3 ）b2 ,b3 ）. 由a
b a b cos(a,b) a b ，从而
a1 2
a1b1 a2b2 a3b3 a2
2
a 3
2
b1
2
b2
2 2
b3 ，
当 a1, a2 , a3与 b1, b2 ,b3 成比例，即
a1 b1
a2 b2
a3
时，上述等式成立.
b3
1. 求过点（ 3,0，-1）且与平面 3x 程.
解
7 y 5z 12 0 平行的平面方
所求平面与已知平面
3x 7 y 5z 12 0 平行.因此所
求平面的法向量可取为 n=（3，-7，5），设所求平面为
3x 7 y 5z D 0.
将点（ 3，0， -1）代入上式得 D=-4.故所求平面方程为
3x 7 y 5z 4 0 .
2. 求过点 M0（ 2，9， -6）且与连接坐标原点及点 M0 的线段 OM0 垂直的平面方程 .
解
OM 0
(2,9, 6）.所求平面与 OM 0 垂直，可取 n= OM 0 ，
设所求平面方程为
2x 9 y 6z D 0.
将点 M0（ 2，9， -6）代入上式得 D=-121.故所求平面方程为
2x 9 y 6z 121 0.
3. 求过（ 1，1， -1），（-2， -2， 2）和（ 1，-1，2）三点的平面方程 .
x 1
解 由
y 1 z 1
2 1 1 1
2 1 2 1 0 ，得 x 3 y 2z 0 ， 1 1 2 1
即为所求平面方程 .
注 设 M（ x,y,z）为平面上任意一点， M i
( xi , yi , zi )(i 1,2,3) 为
(M 1M 2 M 1M 3) 0, 即
平面上已知点 .由M1M
高等数学课后习题及解答
