高等数学课后习题及解答
1. 设 u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用 a，b， c 表示 2u-3v.
解 2u-3v=2（ a-b+2c） -3（-a+3b-c）
=5a-11b+7c.
2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.
证 如图 8-1 ， 设四边 形 ABCD中 AC 与 BD 交于 M ， 已知
AM = MC ， DM
故
MB .
AB AM
MB MC DM DC .
即 AB // DC 且|AB |=|
DC | ，因此四边形
ABCD是平行四边形.
3. 把△ ABC的 BC边五等分，设分点依次为 D1，D2，D3，D4，再把各
分点与点 A 连接.试以 AB=c, BC=a 表向量 D1 A, D2 A, D3 A, D
证 如图 8-2 ，根据题意知
D1D2
1 5
a,
4
A.
1
D3 D4
1 5
a,
BD1
5
a,
D2D3
1 5
a,
BD1 ）=-
1
a- c
故 D1 A=- （ AB
5
D2 A=- （ AB BD2 ）=-
2
a- c
D A=- （ AB BD ）=-
3
3
5 3
a- c
=- （ AB BD4 ）=- D A
4
5 4a- c. 5
4. 已知两点 M1（0，1，2）和 M2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示
向量 M1M 2 及-2 M 1M 2 .
解
M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） .
-2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）.
5. 求平行于向量 a=（6， 7， -6）的单位向量 .
a
解 向量 a 的单位向量 为
a
，故平行向量 a 的单位向量为
a a
=
1
11
（ 6，7， -6）=
2
2
2
6 7 6
, , 11 11 11
，
其 中 a 6
7( 6)11.
6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A（1，-2，3），B（ 2， 3，-4）， C（2，-3，-4）， D（-2，
-3， 1）.
解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 .
7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：
A（ 3， 4， 0），B（ 0， 4，3），C（ 3，0，0），D （ 0，
-1， 0）.
解 在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中 至少有一个为零，比如 xOy 面上的点的坐标为（ x0， y0，0），xOz 面上的点的坐标为（ x0，0， z0）， yOz 面上的点的坐标为（ 0， y0，z0） .
在坐标轴上的点的坐标， 其特征是表示坐标的三个有序数中至少 有两个为零，比如 x 轴上的点的坐标为（ x0，0，0），y 轴上的点的坐标为（ 0，y0， 0）， z 轴上的点的坐标为（ 0，0，z0）.
A 点在 xOy 面上， B 点在 yOz 面上， C 点在 x 轴上， D 点在 y 轴 上.
8. 求点（ a，b， c）关于（ 1）各坐标面；（2）各坐标轴；（ 3）坐标原点的对称点的坐标 .
解 （ 1）点（ a， b，c）关于 xOy 面的对称点（ a，b， -c），为关于 yOz面的对称点为（ -a，b，c），关于 zOx面的对称点为（ a，-b， c）.
（ 2）点（ a， b， c）关于 x 轴的对称点为（ a，-b， -c），关于 y
轴的对称点为（ -a， b，-c），关于 z 轴的对称点为（ -a，-b， c）.
（ 3）点（ a，b， c）关于坐标原点的对称点是（ -a，-b， -c）.
9. 自点 P分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各 0 x0，y0，z0（）
垂足的坐标 .
解 设空间直角坐标系如图 8-3，根据题意， P0F 为点 P0 关于 xOz
面的垂线，垂足 F 坐标为 (x0，； P0D 为点 P0 关于 xOy 面的垂 0，z0）
0）线，垂足 D 坐标为 ( x0，y0，； P0E 为点 P0 关于 yOz 面的垂线，垂
足 E坐标为 (0，y0，zo ) .
；P0B 为点 P0A 为点 P0 关于 x 轴的垂线，垂足 A 坐标为 ( xo，0,0）
P0 关于 y 轴的垂线， 垂足 B 坐标为 (0, y0 ,0) ；P0C为点 P0 关于 z 轴的
垂线，垂足 C 坐标为 (0,0, z0 ) .
分别作平行于 z 轴的直线和平行于 xOy 面的 10.过点 P0 x0，y0，z0）（平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？
解 如图 8-4，过 P0 且平行于 z 轴的直线 l 上的点的坐标，其特 点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同
而过点 P0 且平行于 xOy 面的平面 它们的竖坐标均相同 .
.
上的点的坐标，其特点是，
11. 一边长为 a 的正方体放置在 xOy 面上，其底面的中心在坐标原点， 底面的顶点在 x 轴和 y 轴上，求它各顶点的坐标 .
2
解 如图 8-5，已知 AB=a，故 OA=OB= a ，于是各顶点的坐
2
2 2 2
0，0) ，B（ (0, a，a，，D ），C（- a，0，0）标分别为 A( 0）
2 2 2
2 2 2 2 a a a a a ，0），E（ ，0，），F（0， ，），G（- a ，（0，-
2 2 2 2
2
a ， a ）. 0， a ），H（ 0，- 2
12. 求点 M（4， -3， 5）到各坐标轴的距离 .
解 点 M 到 x 轴的距离为 d1=
( 3) 5
22
34 ， 点 M 到 y
轴 的 距 离 为 d2=
4
2
5
2
41 ， 点 M 到 z 轴 的 距 离 为
d3=
4
2
( 3)
2
25 5.
13.在 yOz 面上，求与三点 A（3， 1， 2），B（4， -2，-2），C（0， 5， 1）等距离的点 .
解 所求点在 yOz 面上，不妨设为 P（ 0，y，z），点 P 与三点 A，
B， C等距离，
PA ( y 2)
2
3
2
2
( y 1)
2
2
(z 2),
2
PB
4
2
(z 2),
2
PC ( y 5)( z 1).
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