谢安在寒冷的雪天举行家庭聚会，给子侄辈的人讲解诗文。不久，雪下得大了，太傅高兴地说：“这纷纷扬扬的白雪像什么呢？”他哥哥的长子谢朗说：“在空中撒盐差不多可以相比。”另一个哥哥的女儿说：“不如比作柳絮凭借着风飞舞。”太傅大笑起来。她就是谢奕的女儿谢道韫，左将军王凝之的妻子。课时作业31 数列求和
1．(2017·北京卷)已知等差数列{an} 和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5. (1)求{an}的通项公式； (2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1. 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10， 解得d＝2，所以an＝2n－1. (2)设等比数列{bn}的公比为q， 32因为b2b4＝a5，所以b1qb1q＝9，解得q＝3， 2n－2n－1所以b2n－1＝b1q＝3. n3－12n－1从而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋3＋…＋3＝. 22．(2018·四川成都市高中毕业第一次诊断)已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4. (1)证明：数列{an＋4}是等比数列； (2)求数列{|an|}的前n项和Sn. 解析：(1)证明：∵a1＝－2，∴a1＋4＝2. ∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)， an＋1＋4∴＝2， an＋4∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． nn(2)由(1)，可知an＋4＝2，∴an＝2－4. 当n＝1时，a1＝－2<0，∴S1＝|a1|＝2； 当n≥2时，an≥0. 2n2n∴Sn＝－a1＋a2＋…＋an＝2＋(2－4)＋…＋(2－4)＝2＋2＋…＋2－4(n－1)＝n－2n＋1－4(n－1)＝2－4n＋2. 1－2又当n＝1时，上式也满足． *n＋1∴当n∈N时，Sn＝2－4n＋2. 3．(2018·西安质检)等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，前n项和为Sn；数列{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝6，b2＋S3＝8. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； 111(2)求＋＋…＋. S1S2Sn解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，d>0，{bn}的公比为q， n－1则an＝1＋(n－1)d，bn＝q. ?＋d＝6?q?依题意有， ?q＋3＋3d＝8? ?d＝1?解得???q＝2 4??d＝－3，或???q＝9n－1 (舍去)． 故an＝n，bn＝2. 1(2)由(1)知Sn＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)， 21211＝＝2(－)， Snnn＋nn＋1谢安在寒冷的雪天举行家庭聚会，给子侄辈的人讲解诗文。不久，雪下得大了，太傅高兴地说：“这纷纷扬扬的白雪像什么呢？”他哥哥的长子谢朗说：“在空中撒盐差不多可以相比。”另一个哥哥的女儿说：“不如比作柳絮凭借着风飞舞。”太傅大笑起来。她就是谢奕的女儿谢道韫，左将军王凝之的妻子。1111111112n∵＋＋…＋＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(1－)＝. S1S2Sn223nn＋1n＋1n＋14．(2018·陕西省宝鸡市高三质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2. (1)求数列{an}的通项公式； ?n＋1??的前n项和为Tn，求证：1≤Tn<3. (2)若数列?an?解析：(1)当n＝1时，a1＝2. 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2， ?22211234nn＋1①×，得Tn＝2＋3＋4＋…＋n＋n＋1，② 222222213n＋3n＋3①－②，得Tn＝－n＋1，整理得Tn＝3－n， 2222*由于n∈N，显然Tn<3. n＋3cn＋1n＋4又令cn＝n，则＝<1，所以cn>cn＋1， 2cn2n＋6n＋3所以n≤c1＝2，所以Tn≥1. 2故1≤Tn<3. 5．(2018·武汉市武昌区调研考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5. (1)求{an}的通项公式； ?1?4?的前n项和为Tn，求证：Tn≤. (2)设数列?9?anan＋1?解析：(1)由a1＝9，a2为整数可知，等差数列{an}的公差d为整数． 又Sn≤S5，∴a5≥0，a6≤0， 于是9＋4d≥0,9＋5d≤0， 99解得－≤d≤－. 45∵d为整数，∴d＝－2. 故{an}的通项公式为an＝11－2n. 1?111?1－(2)证明：由(1)，得＝＝??， anan＋1－2n－2n2?9－2n11－2n?1??11??11?∴Tn＝??－?＋?－?＋…＋2??79??57?令bn＝an*＝2(n≥2，n∈N)， an－1n*所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2(n∈N)． n＋1n＋1(2)证明：令bn＝＝n， an2334n＋1则Tn＝1＋2＋3＋…＋n，① 所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，即2 ?1－1??＝1?1－1?. ?9－2n11－2n??2?9－2n9??????11，由函数f(x)＝的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知9－2n9－2x0
2019版高考数学总复习第五章数列31数列求和课时作业文
