《高等数学》专升本(2015-2016)第四节 反常积分54 反常积分

第五章 定 积 分

第四节 反 常 积 分

一、无穷区间的反常积分 二、无界函数的反常积分

一、无穷区间的反常积分

-x y 例 1 求由曲线 y = e， 轴及 x 轴所围成开口

曲边梯形的面积.

解 这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取

y b ?[0, + ?)，在有 限区间

-x [0, b] 上， 以曲线 y = e

(0,1) 为曲边的曲边梯形面积为

?b0edx??e?x?xb01?1?b.ey = e-x O b x 开口曲边梯形的面积

当 b ? + ? 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积， 即

1???x?1?b??1.A?lim?edx?blim???b???a?e?by (0,1) y = e-x O b x 定义 1 设函数 f (x ， 取实) 在[a , + ? )上连续 数 b > a， 如果极限

b???alim?f(x)dx??b 存在， 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + ?) 上的反常积分，记作 ?af(x)dx,即

???af(x)dx?limb???a?bf(x)dx.这时也称反常积分收敛， 否则称反常积分发散.

设函数 ? , b ] ， 取实定义 2 f ( x) 在 (-上连续数 a > b， 如果极限

a???ablim?f(x)dxb f (x) 在无穷区间(- ?, b] 存在，则称此极限值为函数 上的反常积分， 记作 ?f(x)dx,即

???b??f(x)dx?lima???a?bf(x)dx这时也称反常积分收敛， 否则称反常积分发散.