高中数学竞赛模拟试题一
一 试
（考试时间：80分钟 满分100分）
一、填空题（共8小题，8?7?56分）
1、已知,点(x,y)在直线x?2y?3 上移动,当2x?4y取最小值时,点(x,y)与原点的距离是 。
2、设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如
f?123??12?22?32?14f2010(2010)?
。记
f1(n)?f(n)，
fk?1(n)?f(fk(n))，
k?1,2,3...，则
。
ABCD?A1B1C1D13、如图，正方体是 。
中，二面角
A?BD1?A1的度数
4、在1,2,?,2010中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数a,b,c满足
abc，则b的最大值是 ??a?cb?ca?ca?b 。
6、在平面直角坐标系xoy中，给定两点M(?1,2)和N(1,4)，点P在X轴上移动，当?MPN取最大值时，点P的横坐标是 。 7、已知数列a0,a1,a2,...,an...,满足关系式(3?an?1)(6?an)?18且a0?3，则?1i?0nai的值是 。
8、函数f(x)?sinx?cosx?tanx?cotx?sinx?cosx?tanx?cotx在x?(o,?)时的最
sinx?tanxcosx?tanxcosx?cotxsinx?cotx2小值为 。
二、解答题（共3题，14?15?15?44分）
9、设数列{an}满足条件：a1?1,a2?2，且an?2?an?1?an(n?1,求证：对于任何正整数n，都有：nan?1?1?n1
an2,3,?)
10、已知曲线M:x2?y2?m，x?0，m为正常数．直线l与曲线M的实轴不垂直，且依次交直线y?x、曲线M、直线y??x于A、B、C、D4个点，O为坐标原点。
（1）若|AB|?|BC|?|CD|，求证：?AOD的面积为定值；
（2）若?BOC的面积等于?AOD面积的1，求证：|AB|?|BC|?|CD|
311、已知?、?是方程4x2?4tx?1?0(t?R)的两个不等实根，函数f(x)?
2x?t的定义域为[?,?]. 2x?1 （Ⅰ）求g(t)?maxf(x)?minf(x); （Ⅱ）证明：对于ui?(0,?)21113???6. g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)4(i?1,2,3)，若sinu1?sinu2?sinu3?1，则
二 试
（考试时间：150分钟 总分：200分）
一、（本题50分）如图，
O1和O2P 与
?ABC的三边所在的三条直线都相
切，E,F,G,H为切点，并且EG、FH延长线交于P点。 求证：直线PA与BC垂直。 二、（本题50分）正实数x,y,z，满
xyz?1。证明：
O1。
G H A 。
的
O2
E B C F
足
三、（本题50分）对每个正整数n，定义函数
0n为平方数）?（当?f(n)??1
[（当]n不为平方数）?{n}?240（其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}?x?[x])。试求：?f(k)的值。
k?1四、（本题50分）在世界杯足球赛前，F国的教练员为了考察
A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛
90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A5,A6,A7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？ 答案与解析 一、填空题 1、354。2x?4y?2332x?2y?42.x?,y?时取最小值,
24此时x2?y2=354。
2、4。 解： 将f(2010)?5记做2010?5，于是有 从89开始，fn是周期为8的周期数列。故
f2010(2010)?f2005(89)?f5?250?8(89)?f5(89)?4。
3、60。 解：连结D1C,作CE?BD1，垂足为E，延长CE交A1B于F，则FE?BD1，连结AE，由对称性知AE?BD1,??FEA是二面角A?BD1?A1的平面角。
连结AC，设AB?1，则AC?AD1?在Rt?ABD1中，AE?2,BD1?3.
AB?AD12?BD13，
4?21 3在?AEC中,cos?AEC?AE?CE?AC?2AE?AC???42AE?CE2AE22322222??AEC?1200,而?FEA是?AEC的补角，??FEA?600。
4、
3。 4018 解：三个数成递增等差数列，设为 a,a?d,a?2d，按题
,2010?2d.
意必须满足a?2d?2010, 对于给定的d,a可以取1,2,d?1004。
1004d?1
故三数成递增等差数列的个数为 ?(2010?2d)?1005*1004. 三数成递增等差数列的概率为 5、
17?1。 41005*10043?3C20104018。
解：由条件，有
bca， ??a?ca?bb?c令a?b?x,b?c?y,c?a?z； 则a?x?z?y,b?x?y?z,c?22y?z?x， 2从而原条件可化为： 令x?y?t,则t?4?1，解得t?1?zt172或t?1?172，
故
bx?y?zt117?1???? a?c2z2246、经过M,N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y?3?x上，1.解：设圆心为S(a,3?a)，则圆S的方程为：(x?a)2?(y?3?a)2?2(1?a2)
对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角
度增大，所以，当?MPN取最大值时，经过M,N,P三点的圆S必与x轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足2(1?a2)?(a?3)2,解得 或a??7.
即对应的切点分别为P(1,0)和P?(?7,0)，而过点M,N,P?的圆的半径大
a?1
于过点M,N,P的圆的半径，所以?MPN??MP'N，故点P(1,0)为所求，所以点P的横坐标为1. 7、1(2n?2?n?3).
3解：设bn?
111,n?0,1,2,...,则(3?)(6?)?18, anbn?1bn即3bn?1?6bn?1?0.?bn?1?2bn?1,311bn?1??2(bn?) 333故数列{bn?1}是公比为2的等比数列，
bn?n111111?2n(b0?)?2n(?)??2n?1?bn?(2n?1?1)。 33a0333nn?1n?211i?11?2(2n?1?1)?b?(2?1)??(n?1)??2?n?3?。 ???i??3?2?1i?oaii?0i?03?38、4.解：
44?????(sinx?cosx)???(tanx?cotx)???sinx?tanx?cosx?cotx??sinx?tanx?cosx?cotx?（由调和平均值不等式）?4 要使上式等号成立，当且仅当
（1） －（2）得到sinx?cosx?cosx?sinx， 即得sinx?cosx。因为x?(0,?)，
2所以当x??时，f(x)?4f()?4。所以minf(x)?4。
4?二、解答题 9、证明：令 于是
na0?1,则有 ak?1?ak?ak?1，且 1?aka?k?1(k?1,2,?) ak?1ak?1nakan????k?1 k?1ak?1k?1ak?1由算术-几何平均值不等式，可得 注意到
a0?a1?1，可知
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