?l的直角坐标方程为：2x?3y?11?0
（2）设C上点的坐标为：?cos?,2sin??
???4sin?????112cos??23sin??11则C上的点到直线l的距离6? ?d??77当sin??????????1时，d取最小值 6?则dmin?7 【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题. 23．（1）1；（2）见解析 【解析】 【分析】
，，即x?m的解集f?x?2??m?x，故有m?x?0的解集为[?11]（1）由条件可得 ，，进而可得结果；（2）根据a?2b?3c??a?2b?3c??为[?11]不等式即可得结果. 【详解】
1??11???利用基本?a2b3c?f?x?2??m?x，由题意可得m?x?0的（1）函数f?x??m?x?2，m?R，故 ，，即x?m的解集为[?11]，，故m?1． 解集为[?11]（2）由a，b，c?R，且 ?1a11??m?1， 2b3c1??11a?2b?3c?a?2b?3c?????∴?
?a2b3c??1??3?2b3ca3ca2b???1????1 aa2b2b3c3c2b3ca3ca2b??????3?6?9， aa2b2b3c3c2b3ca3ca2b?????1时，等号成立．
aa2b2b3c3c所以a?2b?3c?9.
当且仅当 ?【点睛】
本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题． 24．(1) 当a?0时，f(x)的单调递减区间是(0,??)，无单调递增区间；当a?0时，
f(x)的单调递减区间是?0,
??1?1?1?,??b≤1?，单调递增区间是 (2) ???a?e2?a?【解析】 【分析】 【详解】
分析：（1）求导f??x?，解不等式f??x??0，得到增区间，解不等式f??x??0，得到减区间；
（2）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2?1+
1﹣xlnx1lnx≥b，构造函数g（x）=1+﹣，g（x）min即为所求的b的值 xxx详解：
（1）在区间?0,???上， f??x??a?1ax?1?， xx当a?0时， f??x??0恒成立， f?x?在区间?0,???上单调递减； 当a?0时，令f??x??0得x?在区间?0,1， a??1??上，f??x??0，函数f?x?单调递减， a??1?在区间?,???上，f??x??0，函数f?x?单调递增.
?a?综上所述：当a?0时， f?x?的单调递减区间是?0,???，无单调递增区间； 当a?0时，f?x?的单调递减区间是?0,
?
?1??1?,??，单调递增区间是???
a?a??（2）因为函数f?x?在x?1处取得极值， 所以f??1??0，解得a?1，经检验可知满足题意 由已知f?x??bx?2，即x?1?lnx?bx?2， 即1+1lnx??b对?x??0,???恒成立， xx1lnx?， xx令g?x??1?则g??x???11?lnxlnx?2??， 22xxx222?e易得g?x?在0,e?上单调递减，在??,??上单调递增，
??所以g?x?min?ge???1?e1，即b≤1?e1222.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若f(x)?0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
f(x)min?0，若f(x)?0恒成立，转化为f(x)max?0;
（3）若f(x)?g(x)恒成立，可转化为f(x)min?g(x)max
25．（1）800?4sin?cos??cos??， 1600?cos??sin?cos??, ?,1?；（2）【解析】
分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin?的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.
?1??4??． 6详解：
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10． 过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ， 故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， 则矩形ABCD的面积为2×△CDP的面积为
1×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 21π，θ0∈（0，）． 46过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10． 令∠GOK=θ0，则sinθ0=当θ∈[θ0，
π）时，才能作出满足条件的矩形ABCD， 21，1）． 4所以sinθ的取值范围是[
答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[
1，1）． 4（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0）， 800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） 则年总产值为4k×
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，
π）． 2π）， 2则f'????cos??sin??sin???2sin??sin??1???2sin??1??sin??1?．
222??令f'???=0，得θ=当θ∈（θ0，当θ∈（
π， 6π）时，f'???>0，所以f（θ）为增函数； 6ππ，）时，f'???<0，所以f（θ）为减函数， 62π时，f（θ）取到最大值． 6因此，当θ=答：当θ=
π时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 6点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.
x2y226．（1）??1；（2）y?x?2或y??x?2.
62【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合a2＝b2+c2，即可求椭圆C的方程；
（2）联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出x1?x2及x1?x2，结合弦的长度为
5，即可求斜率k的值，从而求得直线方程．
【详解】
x2y26解：（1）由椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为，
ab3得c?63a，b?a. 33x2y2122由S??2c?b??1． a?22得a?6， b?2，所以椭圆方程为?6223（2）解：设直线lAB:y?k?x?2?，A?x1,y1?，B?x2,y2?，AB中点M?x0,y0?．
?y?k?x?2?22221?3kx?12kx?12k?6?0， 联立方程?2得??2?x?3y?6?026?1?k212k212k2?62.AB?1?k?x?x?． x1?x2?,x1x2?221221?3k1?3k1?3k6k2所以x0?， 21?3k??3k2?16k2点M到直线x?1的距离为d?x0?1?． ?1?221?3k1?3k由以线段AB为直径的圆截直线x?1所得的弦的长度为5得
?5??AB?2???d???2??2????【点睛】
22?6?1?k2，所以?1?3k2??????3k2?1?2?5?2???， ???2???1?3k2??????2解得k??1，所以直线l的方程为y?x?2或y??x?2．
本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出x1?x2及x1?x2，代入弦长公式
AB?1?k2?x1?x2?2?4x1x2列方程求解，还考查了圆的弦长计算，
，考查学生的计算能力，属于中档题．
2020-2021深圳市南华中学高中三年级数学下期末模拟试卷(带答案)
