30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1，0）T， ξT
1=（2，-2=（2，0，1）.
?25/5?经正交标准化，得η
?25/15?1=?????5/5?，η
?2=?45/15?.
??0????5/3??λ=-8的一个特征向量为 ??ξ
?1??3=?2，经单位化得η
=?1/3??3???2/3??2????. ??2/3???25/5215/151/3?所求正交矩阵为
T=????5/545/152/3?.
??05/3?2/3???00?对角矩阵
D=?1?010???. ?00?8????25/5215/151/3?（也可取T=
??0?5/32/3?.）
??5/5?45/15?2/3??31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x23-7x3
=（x222
1+2x2-2x3）-2（x2-x3）-5x3.
?y1?x1?2x2?2x?3?x1?y1?2y设??y2?x2?x3，
即?2?x2?y2?y3，
????y33?x3?x?y3??20?因其系数矩阵
C=?1?011???可逆，故此线性变换满秩。
?001??经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y21-2y22 2-5y3.
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，
所以E-A可逆，且 （E-A）-1= E+A+A2 .
33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.
（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，
即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.
又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 所以η0，η1，η2线性无关。
6
l0=0 .
线性代数试题及答案
