线性代数习题和答案
好东西
第一部分 选择题 (共28分)
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有
一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式 A. m+n C. n-m 2.设矩阵
?1??3?0??0?????????1300a11a21a12a22=m，
0??0??3?a13a23a11a21=n，则行列式
a11a21a12?a13a22?a23等于（ ）
020 B. -(m+n) D. m-n
?1?A=?0??0，则A-1等于（ ）
??1??0???0???0?0??1??3?0120 A.
?0??0??1????0??0?1??2? B.
0120
010 C. D.
????????12000130?0??0??1???
3.设矩阵
?3?A=?1???2?1012???1??4?，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）
A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0 B. B?C时A=0 C. A?0时B=C D. |A|?0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ ） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+
1
λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解
B.
12η1+
12η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A) A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2， λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） 2 A.|A|必为1 B.|A|必为1 -1T C.A=A D.A的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.??2?33??4?02?3 0???3??5? B.??3?24??6?120 1??0??2? ?1?C.?0??0 ?1?D.?1??1 第二部分 非选择题（共72分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每 小题的空格内。错填或不填均无分。 1152516?3615. 39 . 1???1??13????1?24?216.设A=??1?1?11，B=?.则A+2B= . 17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则 222 (a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= . 2 19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 . 20.设A是m×n矩阵，A的秩为r( 21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . 23.设矩阵A= ?0??1???210?3106???3??8?，已知α ?2???=??1????2?是它的一个特征向量，则α所对应的特征值 为 . 24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 25.设 ?1?A=?3???12420??0??1?，B=?110?53??0??3??23?1????240??13132?4?1?3.求（1）ABT；（2）|4A|. 326.试计算行列式 ?521. 27.设矩阵 ?4?A=?1???1212，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B. ?1?????3?2=?2????4?06232???6?3??4??3????0?3=?2?????1??0?????1?4=?4????9?28.给定向量组α ??2????1?1=?0????3??24?13，α，α，α. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。 29.设矩阵 ?1??2A=??2??3?1203. 求：（1）秩（A）； （2）A的列向量组的一个最大线性无关组。 ?0?30.设矩阵A=??2??2?2?342??4???3?的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D. 31.试用配方法化下列二次型为标准形 222?2x2?3x3?4x1x2 f(x1,x2,x3)=x1?4x1x3?4x2x3， 并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2. 33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 3 （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； （2）η0，η1，η2线性无关。 答案： 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C 二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. ??3??13?37??7? 17. 4 18. –10 19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1 222224. z1?z2?z3?z4 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） ?1?25.解（1）ABT=?3???1?8?=?18??32420??2??0??3??1???16??10??10??2??4??0? . （2）|4A|=43|A|=64|A|，而 124200??21|A|= 3?1. 所以|4A|=64·（-2）=-128 3110?5511?512?510?0?13131?102?4?1?3?5?110?5110?5?13131?10026.解 ?521 = ?11?55 = ?6?5?6?52?5?30?10?40. 27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而 4 ?2?（A-2E）-1=?1???12?123??0??1??1?1???1???1?4?56?4?56?3???3?. ?4?2123??0??3?所以 ?1?-1 B=(A-2E)A=?1???1?3?=?2???2?8?912?6???6?. ?9??3??4???3??1??4???1 28.解一 ??2??1?0??31?324302?1010001000??0???1??1????04???9??0318?140010?5?3113301?10100?2???1?2??12?3110 ?1??0????0??0?1??0????0??05??1??2??0????08????14??05??2?1??0? 2??1?,1??0? 所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3， 即 ??2x1?x2?3x3?0??x1?3x2??1??2x2?2x3?4?3x1?4x2?x3?9.? 方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）. 29.解 对矩阵A施行初等行变换 A ?1??0????0??0?2039?102606832???2??2???2? ?1??0????0??0?2300?1200086?212??1???3??0????0?2???7??0?2300?120008302???3??1??0?=B. （1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3. （2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是 B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。 （A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是） 5 30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为 ξ1，0）T， ξT 1=（2，-2=（2，0，1）. ?25/5?经正交标准化，得η ?25/15?1=?????5/5?，η ?2=?45/15?. ??0????5/3??λ=-8的一个特征向量为 ??ξ ?1??3=?2，经单位化得η =?1/3??3???2/3??2????. ??2/3???25/5215/151/3?所求正交矩阵为 T=????5/545/152/3?. ??05/3?2/3???00?对角矩阵 D=?1?010???. ?00?8????25/5215/151/3?（也可取T= ??0?5/32/3?.） ??5/5?45/15?2/3??31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x23-7x3 =（x222 1+2x2-2x3）-2（x2-x3）-5x3. ?y1?x1?2x2?2x?3?x1?y1?2y设??y2?x2?x3， 即?2?x2?y2?y3， ????y33?x3?x?y3??20?因其系数矩阵 C=?1?011???可逆，故此线性变换满秩。 ?001??经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y21-2y22 2-5y3. 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E， 所以E-A可逆，且 （E-A）-1= E+A+A2 . 33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0. （1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0， 即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0. 则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 所以η0，η1，η2线性无关。 6 l0=0 .
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