9.7 抛物线
考纲要求 1．掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 2．理解数形结合的思想．
3．了解抛物线的简单应用，了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离____的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的____，直线l叫做抛物线的____．焦点到准线的距离(定长p)叫做抛物线的焦参数．
2．抛物线的标准方程与几何性质 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 标准 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0) 方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 焦半径(其中P(x0，y0)) y＝0 F______ ________ x≥0，y∈R 向右 |PF|＝x0＋ 22
O(0,0) F______ F______ x＝0 F______ e＝____ ________ ________ x≤0，y∈R y≥0，x∈R 向左 向上 |PF|＝－x0＋ 2________ y≤0，x∈R 向下 |PF|＝－y0＋ 2pp|PF|＝y0＋ 2pp
1．抛物线y＝8x的准线方程为( )．
1
B．x＝－
2
11
C．y＝－ D．y＝－ 8322
2．抛物线x＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )． A．2 B．3 C．4 D．5
2
3．已知抛物线y＝ax的准线方程为y＝1，则a的值为( )．
11
A．4 B．－ C．－4 D． 44A．x＝－2
4．若抛物线y＝2px的焦点与双曲线－＝1的右焦点重合，则p的值为__________．
63
5．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到定直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．
2
x2y2
一、抛物线的定义及其应用
2
【例1－1】设抛物线y＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( )．
A．43 B．8 C．83 D．16
2
【例1－2】已知点P是抛物线y＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y?7?轴上的射影是M，点A?，4?，则|PA|＋|PM|的最小值是( )． ?2?
79
A. B．4 C. D．5 22方法提炼
利用抛物线的定义可解决的常见问题：
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；
(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用．
提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上． 请做演练巩固提升1,3
二、抛物线的标准方程及其几何性质
2
【例2－1】 设M(x0，y0)为抛物线C：x＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )．
A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
【例2－2】 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
方法提炼
1．求抛物线的标准方程的方法及注意事项
(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以，只需一个条件确定p值即可；
(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
2．抛物线的标准方程及其性质的应用
由抛物线的方程可求x，y的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求p值，确定焦点坐标等．
提醒：抛物线方程中的参数p＞0，其几何意义是焦点到准线的距离． 请做演练巩固提升2,4
要注重抛物线定义的运用
2
【典例】 (12分)(2012课标全国高考)设抛物线C：x＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l.A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；
(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
规范解答：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝2p.(1分)
由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝2p.(2分) 因为△ABD的面积为42，
11
所以|BD|·d＝42，即·2p·2p＝42，
22
解得p＝－2(舍去)，p＝2.
22
所以F(0,1)，圆F的方程为x＋(y－1)＝8.(4分) (2)因为A，B，F三点在同一直线m上， 所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.(6分)
1
由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|，
2所以∠ABD＝30°，m的斜率为当m的斜率为33
或－.(7分) 33
332322
时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x＝2py得x－px－2pb＝0. 333
42
由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p＋8pb＝0.
3解得b＝－.(9分)
6
pp|b1|
因为m的截距b1＝，＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.
2|b|
3
时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.(12分) 3
答题指导：1.对抛物线的考查多在定义上出题目； 2．解决抛物线问题多考虑开口方向及焦点等问题． 当m的斜率为－
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点．若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )．
A．线段 B．圆
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
2
2．(2012课标全国高考)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为( )．
A.2 B．22 C．4 D．8
2
3．已知F是抛物线y＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )．
357A. B．1 C. D. 444
?1?2
4．已知抛物线y＝2px(p＞0)的焦点为F，点P?1，?在抛物线上，过P作PQ垂直抛物
?4?
线的准线，垂足为Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为__________．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．相等 焦点 准线
p?pppp?p??p??p??2.?，0? ?－，0? ?0，? ?0，－? 1 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 2?2222?2??2??2??
基础自测
111p12
1．D 解析：抛物线的方程可化为x＝y，即2p＝，p＝，＝，
8816232
1
所以准线方程为y＝－.
32
2．D 解析：点A到抛物线焦点的距离等于点A到抛物线准线的距离，即4－(－1)＝
5.
1112
3．B 解析：由x＝y，∴其准线方程为y＝－.∴a＝－.
a4a4
4．6 解析：由双曲线－＝1的右焦点F(3,0)是抛物线y＝2px的焦点，得＝3，p632
＝6.
2
5．y＝8x 解析：由条件可知P点的轨迹为抛物线，其焦点为(2,0)，准线为x＝－2， 所以＝2，p＝4，轨迹方程为y＝2px＝8x.
2
考点探究突破
【例1－1】B 解析：如图，由kAF＝－3知∠AFM＝60°.
x2y2
2
pp2
又AP∥MF，所以∠PAF＝60°. 又|PA|＝|PF|，
所以△APF为等边三角形． 故|PF|＝|AF|＝2|MF|＝2p＝8.
?1?2
【例1－2】 C 解析：设抛物线y＝2x的焦点为F，则F?，0?.
?2?11?7?又点A?，4?在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－，则|PM|＝d－. 22?2?
又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，
9
所以|PA|＋|PM|≥.
2
【例2－1】 C 解析：易知F(0,2)，准线方程为y＝－2. 圆心到准线的距离为4，则|FM|＞4，
22
即|FM|＝x0＋(y0－2)
2
＝8y0＋(y0－2)＞4，
22
∴y0－4y0＋4＋8y0＞16，y0＋4y0－12＞0，解得y0＞2或y0＜－6(舍)． ∴y0的取值范围是(2，＋∞)．
2
【例2－2】 解法一：设所求抛物线方程为x＝－2py(p＞0)，
则焦点为F?0，－?.
2??
∵M(m，－3)在抛物线上且|MF|＝5，
?
p?
m＝6p，??故??－3＋p?2＝5，2
m＋???2???
2
?p＝4，
解得?
?m＝±26.
2
∴抛物线方程为x＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2. 解法二：如图所示，
设抛物线方程为x＝－2py(p＞0)，
2
则焦点F?0，－?，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，
2?2?
则|MN|＝|MF|＝5，
而|MN|＝3＋，∴3＋＝5，p＝4.
22
2
∴抛物线方程为x＝－8y，准线方程为y＝2.
2
由m＝－8×(－3)＝24，得m＝±26. 演练巩固提升
1．D 解析：连接PC1，即为P到直线C1D1的距离．根据题意，在平面BB1C1C内点P到定点C1的距离等于到定直线BC的距离，符合抛物线定义，轨迹两个端点分别为B1及CC1的中点，∴P点的轨迹为抛物线的一部分．
?
p?pppx2y2
2．C 解析：设双曲线的方程为2－2＝1，抛物线的准线为x＝－4，且|AB|＝43，
aa故可得A(－4,23)，B(－4，－23)，
2将点A的坐标代入双曲线方程得a＝4，故a＝2，故实轴长为4.
3
3．C 解析：如图，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，|CD|＝，所以
2
315
中点C的横坐标为－＝.
244
131?1? 解析：由P?1，?在抛物线上得p＝， 88?4?
2
故抛物线的标准方程为x＝4y，点F坐标为(0,1)，准线为y＝－1，
15
∴|FM|＝2，|PQ|＝1＋＝，
444.
2021届高考数学一轮复习 第九章解析几何9.7抛物线教学案 新人教B版
