第四章 定积分
[对应学生用书P44]
一、定积分 1．定积分的概念：
?f(x)dx叫函数f(x)在区间[a，b]上的定积分． ?a2．定积分的几何意义：
当f(x)≥0时，??af(x)dx表示的是 y＝f(x)与直线x＝a，x＝b和x轴所围成的曲边梯形的面积．
3．定积分的性质：
b(1)∫a1dx＝b－a.
bb?(2)??akf(x)dx＝k?af(x)dx.
??(3)??a[f(x)±g(x)]dx＝?af(x)dx±?ag(x)dx. ??(4)??af(x)dx＝?af(x)dx＋?cf(x)dx.
定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．
二、微积分基本定理
b1．如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则??af(x)dx＝F(x)| abbcbbbbbb＝F(b)－F(a)．
2．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式．
三、定积分的简单应用
定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的体积，解题步骤为：
1
①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积．
?对应阶段质量检测四?
?? ? 见8开试卷?
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知∫af(x)dx＝m，则∫anf(x)dx＝( ) A．m＋n C．mn
bbb B．m－n D.m
bn解析：根据定积分的性质，∫anf(x)dx＝n∫af(x)dx＝mn. 答案：C
2.∫0(e＋2x)dx等于( ) A．1 C．e
B．e－1 D.e＋1
1
1
0
1
x?
解析：∫(e＋2x)dx＝(e＋x)?
?0
xx2
＝(e＋1)－e＝e，故选C.
10
答案：C
k2
3．若∫0(2x－3x)dx＝0，则k等于( )
A．0 C．0或1
k223?解析：∫0(2x－3x)dx＝(x－x)?
?0
k B．1 D.不确定
＝k－k＝0，
23
∴k＝0(舍去)或k＝1，故选B. 答案：B
?4．(江西高考)若f(x)＝x＋2??0f(x)dx，则?0f(x)dx＝( )
2
11
A．－1
1
B．－ 3
2
1C. 3
解析：∵f(x)＝x＋2??0f(x)dx，
2
1
D.1
?1x3＋2x?fxdx?1＝1＋2?f(x)dx. ∴?f(x)dx＝?3?03?0?0?0
??
1
1
1
1
∴??0f(x)dx＝－3.
1
答案：B
?5．已知f(x)为偶函数且??0f(x)dx＝8，则?-6f(x)dx＝( )
A．0 C．8
B．4 D.16
66
解析：∵f(x)为偶函数，∴其图像关于y轴对称，
?∴??-6f(x)dx＝2?0f(x)dx＝16.
答案：D
6．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为( )
66
1A. 21C. 4
10
2
1 B. 31 D. 5
13
?
解析：根据题意得S阴影＝∫3xdx＝x?
?0
11＝. 3×13
答案：B
＝1，则点M取自阴影部分的概率为
S阴影
＝S长方形
7．由y＝－x与直线y＝2x－3围成的图形的面积是( ) 5A. 3
32 B. 3
2
3
C.
64 3
2
D.9
??y＝－x，
解析：解?
?y＝2x－3，?
2
得交点A(－3，－9)，B(1，－1)．
则y＝－x与直线y＝2x－3围成的图形的面积
21
S＝∫1－3(－x)dx－∫－3(2x－3)dx
1332121
＝－x| －3－(x－3x) |－3＝.
33答案：B
8．由曲线y＝x，x＝4和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转生成的旋转体的体积为( )
A．16π C．8π
B．32π D.4π
π242
解析：由图知旋转体的体积为π∫0(x)dx＝x2
|＝8π.
40
答案：C
9．已知自由落体运动的速率v＝gt，则落体运动从t＝0到t＝t0所走的路程为( ) A．gt C.
2gt0
20
B. D.
2gt0
36
2
2gt0
1212
解析：s＝∫t00v(t)dt＝gt |t00＝gt0.
22答案：C
10．如图，两曲线y＝3－x与y＝x－2x－1所围成的图形面积是( )
2
2
A．6
B．9
4
C．12
??y＝3－x，
解析：由?2
??y＝x－2x－1，
2
D.3
解得交点(－1,2)，(2，－1)，
222
所以S＝∫－1[(3－x)－(x－2x－1)]dx
＝∫－1(－2x＋2x＋4)dx
22
?232??＝?－x＋x＋4x???3??－1
答案：B
2
＝9.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
?π
11. ?3cos xdx＝________.
?0?π?π
解析：?3cos xdx＝sin x?3
??0
?0
答案：
3 2
2
1
＝
3. 2
12．设函数f(x)＝ax＋c(a≠0)，若∫0f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
?13?1a1122
解析：∫0f(x)dx＝∫0(ax＋c)dx＝?ax＋cx? |0＝＋c＝ax0＋c，
3?3?
则x0＝答案：
3
. 33 3
2
13．有一横截面面积为4 cm的水管控制往外流水，打开水管后t s末的流速为v(t)＝6t－t(单位：cm/s)(0≤t≤6)．则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为________cm.
解析：由题意可得t＝0到t＝6这段时间内流出的水量V＝∫04(6t－t)dt＝4∫0(6t－
6
2
6
2
3
?213??t)dt＝4?3t－t??3??0?
2
6
＝144(cm)．
3
答案：144
5
高中数学 第四章 定积分章末小结知识整合与阶段检测教学案 北师大版选修22
