抛物线的常见性质及证明
概念
焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；
焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.
性质及证明
过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),倾斜角为?,中点为C(x0,y0), 分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为A’、B’、C’. 1.求证：①焦半径|AF|?x1?pppp；②焦半径|BF|?x2??; ?21?cos?21?cos?1122p③＋＝； ④弦长| AB |＝x1＋x2＋p=；特别地，当x1=x2(?=90?)2| AF || BF |psin?p2时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p；⑤△AOB的面积S△OAB＝.
2sin?pp
证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x1＋，| BF |＝| BC |＝x2＋，
22
| AB |＝| AF |＋| BF |＝x1＋x2＋p
如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为 A1、B1，那么| RF |＝| AD |－| FA1 |＝| AF |－| AF |cos?， ∴| AF |＝
| RF |p
＝
1－cos?1－cos?B1 ? F A1 R O C B(x2，y2) 图2 x D y A(x1，y1) | RF |p
同理，| BF |＝＝ 1＋cos?1＋cos?∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝
pp2p
＋＝2 .
1－cos?1＋cos?sin?111p
S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝| OF || y1 |＋| OF || y1 |＝··(| y1
2222|＋| y1 |)
∵y1y2＝－p2，则y1、y2异号，因此，| y1 |＋| y1 |＝| y1－y2 |
pppp2p2
22222
∴S△OAB＝| y1－y2 |＝(y1＋y2)－4y1y2＝4mp＋4p＝1＋m＝ .
44422sin?1
p211222.求证：①x1x2?；②y1y2??p③ ＋＝p.
| AF || BF |；4
当AB⊥x轴时，有 成立； AF?BF?p，当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：y?k?x?2??p??.代入抛物线方程： 2?p22p?2222?k?0k?x???2px.化简得：kx?p?k?2?x?42??k2∵方程（1）之二根为x1，x2，∴x1?x2?.
4?1?
x1?x2?p111111??????pp2 AFBFAA1BB1x?px?px1x2??x1?x2??122224x1?x2?px1?x2?p2. ??pp2pp2p?x1?x2?p???x1?x2??2424yA'A?C'KOFB'BCx3.求证：?AC'B??A'FB'?Rt∠.
先证明：∠AMB＝Rt∠
【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，则
△ADM≌△ECM，
∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD | ∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | ＝| BF |＋| AF |＝| AB |
2
E M D y A(x1，y1) R C O N F B(x2，y2) x 图3
∴△ABE为等腰三角形，又M是AE的中点， ∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠ 【证法二】取AB的中点N，连结MN，则
111
| MN |＝(| AD |＋| BC |)＝(| AF |＋| BF |)＝| AB |，∴| MN |＝| AN |＝| BN |
222∴△ABM为直角三角形，AB为斜边，故∠AMB＝Rt∠.
pppy1＋y2
【证法三】由已知得C(－，y2)、D(－，y1)，由此得M(－，). 2222
y1＋y2－p2
y1－p(y1－)
2y1y1－y2p(y1－y2)pp
∴kAM＝＝＝2＝＝，同理k＝ BM22
py1y2y1y1＋p2y1＋p2x1＋2·＋p22pppp2p2
∴kAM·kBM＝·＝＝＝－1
y1y2y1y2－p2∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.
pp
【证法四】由已知得C(－，y2)、D(－，y1)，由此得M(－
22py1＋y2
，). 22
py1－y2→py2－y1→∴MA＝(x1＋，)，MB＝(x3＋，)
2222pp(y1－y2)(y2－y1)→→∴MA·MB＝(x1＋)(x2＋)＋ 224
pp2(y1－y2)2
＝x1x2＋(x1＋x2)＋－
244
2222
p2py1y2p2y1＋y2－2y1y2＝＋(＋)＋－ 422p2p44
y D 1 2 34 A M R C O F B 图4 x p2y1y2p2－p2
＝＋＝＋＝0 2222
→→∴MA⊥MB，故∠AMB＝Rt∠.
【证法五】由下面证得∠DFC＝90?，连结FM，则FM＝DM.
又AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图4 ∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4
3
1
∴∠2＋∠3＝×180?＝90?
2∴∠AMB＝Rt∠. 接着证明：∠DFC＝Rt∠
【证法一】如图5，由于| AD |＝| AF |，AD∥RF，
故可设∠AFD＝∠ADF＝∠DFR＝?， 同理，设∠BFC＝∠BCF＝∠CFR＝?， 而∠AFD＋∠DFR＋∠BFC＋∠CFR＝180? ∴2(?＋?)＝180?，即?＋?＝90?，故∠DFC＝90? py1＋y2
【证法二】取CD的中点M，即M(－，)
22
－y2－y2pp
由前知kAM＝，kCF＝＝＝
y1pppy1
＋＋22
∴kAM＝kCF，AM∥CF，同理，BM∥DF ∴∠DFC＝∠AMB＝90?.
→→【证法三】∵DF＝(p，－y1)，CF＝(p，－y2)，
→→∴DF·CF＝p2＋y1y2＝0 →→∴DF⊥CF，故∠DFC＝90?.
| DR |
【证法四】由于| RF |2＝p2＝－y1y2＝| DR |·| RC |，即＝| RF || RF |
，且∠DRF＝∠FRC＝90? | RC |
∴ △DRF∽△FRC
∴∠DFR＝∠RCF，而∠RCF＋∠RFC＝90? ∴∠DFR＋∠RFC＝90? ∴∠DFC＝90?
4. C’A、C’B是抛物线的切线
y2pp1
【证法一】∵kAM＝，AM的直线方程为y－y1＝(x－)
y1y12p
4
y D ? A(x1，y1) R C O ? ? ? ? F( ，0) ? 2px B(x2，y2) 图5 y D G M R C O H D1 A(x1，y1) F B(x2，y2) x 图6 y M l M1 O N1 F N 图7 y D D1 A(x1，y1) x M R C O F B(x2，y2) x 图8
与抛物线方程y2＝2px联立消去x得
2
py2y12
y－y1＝(－)，整理得y2－2y1y＋y1＝0
y12p2p
可见△＝(2y1)2－4y21＝0，
故直线AM与抛物线y2＝2px相切， 同理BM也是抛物线的切线，如图8.
?＝(2px)x?， 【证法二】由抛物线方程y2＝2px，两边对x求导，(y2)x
p
?＝2p，yx?＝，故抛物线y2＝2px在点A(x1，y1)处的切线的斜率为k切＝yx?| y得2y·yx
y
＝y1
p＝. y1
p
又kAM＝，∴k切＝kAM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的
y1
切线.
py1＋y2
【证法三】∵过点A(x1，y1)的切线方程为y1y＝p(x＋x1)，把M(－，)代入
22
2
＋y1y22px1－p2y1＋y2y1p2
左边＝y1·＝＝＝px1－，
2222
pp2
右边＝p(－＋x1)＝－＋px1，左边＝右边，可见，过点A的切线经过点M，
22即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物线的切线.
5. C’A、C’B分别是∠A’AB和∠B’BA的平分线. 【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图9，
则△ADM≌△ECM，有AD∥BC，AB＝BE， ∴∠DAM＝∠AEB＝∠BAM，
即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA. 【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜
角?是直线AM的倾斜角?的2倍即可，即?py1＋y2
＝2?. 且M(－，) 22
图9
E R C D y A(x1，y1) M O F N x B(x2，y2) 5
(完整版)抛物线的性质归纳及证明
