（3）解：连接AE，过点A作AH?AE交BD延长线于点H，连接CH，如图4．
?BAC?90?，??BAE??CAH，
设?ABD??CED??，则?FAD?2?,?ACG?90??2?，
CA?CE，??AEC??EAC?45???，
??AED?45?，??AHE?45?，?AE?AH， AB?AC，∴△ABE≌△ACH（SAS），
??AEB??AHC?135?，??CHD?90?，
过点A作AK?ED于K，??AKD??CHD?90?， AD?CD，?ADK??CDH，
∴△AKD≌△CHD（AAS），?DK?DH，
∵AK?DF,AF?AD,AE?AH，
?FK?DK,EK?HK，
?DH?EF?3，?DF?6．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，考查的知识点多、综合性强、难度较大，正确添加辅助线、构造等腰直角三角形和全等三角形的模型、灵活应用上述知识是解题的关键．
4．如图，在等边?ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以
CD为一边在CD的下方作等边?CDE，连结BE． （1）求?CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：?ADC??BEC；
（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断?AOB是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）证明见解析；（3）?AOB是定值，?AOB?60?. 【解析】 【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC?AC，DC?EC，，
?ACB??DCE?60?，由等式的性质就可以?BCE??ACD，根据SAS就可以得出?ADC??BEC；
（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知?ACD??BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出?ACD??BCE而有
?CBE??CAD?30?而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出?ACD??BCE同样可以得出结论． 【详解】
（1）?ABC是等边三角形， ??BAC?60?．
线段AM为BC边上的中线，
1??CAM??BAC，
2??CAM?30?．
（2）
?ABC与?DEC都是等边三角形，
?AC?BC，CD?CE，?ACB??DCE?60?， ??ACD??DCB??DCB??BCE， ??ACD??BCE． 在?ADC和?BEC中 ?AC?BC???ACD??BCE， ?CD?CE???ACD??BCE(SAS)；
（3）?AOB是定值，?AOB?60?， 理由如下：
①当点D在线段AM上时，如图1，
由（2）可知?ACD??BCE，则?CBE??CAD?30?， 又?ABC?60?，
??CBE??ABC?60??30??90?，
?ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线
11?AM平分?BAC，即?BAM??BAC??60??30?
22??BOA?90??30??60?．
②当点D在线段AM的延长线上时，如图2，
?ABC与?DEC都是等边三角形，
?AC?BC，CD?CE，?ACB??DCE?60?，
??ACB??DCB??DCB??DCE， ??ACD??BCE， 在?ACD和?BCE中 ?AC?BC???ACD??BCE， ?CD?CE???ACD??BCE(SAS)，
??CBE??CAD?30?，
同理可得：?BAM?30?， ??BOA?90??30??60?．
③当点D在线段MA的延长线上时，
?ABC与?DEC都是等边三角形，
?AC?BC，CD?CE，?ACB??DCE?60?， ??ACD??ACE??BCE??ACE?60?， ??ACD??BCE， 在?ACD和?BCE中 ?AC?BC???ACD??BCE， ?CD?CE???ACD??BCE(SAS)，
??CBE??CAD，
同理可得：?CAM?30? ??CBE??CAD?150? ??CBO?30?，
∵?BAM?30?，
??BOA?90??30??60?．
综上，当动点D在直线AM上时，?AOB是定值，?AOB?60?．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.
5．如图，在?ABC中，CE为三角形的角平分线，AD?CE于点F交BC于点D （1）若?BAC?96?，?B?28?，直接写出?BAD? 度 （2）若?ACB?2?B， ①求证：AB?2CF
CF?a,EF?b，直接写出②若 BDa,b的式子表示） ? （用含 CD
【答案】（1）34；（2）①见详解；②【解析】 【分析】
2b a?b（1）由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案；
（2）①证明?B??BCE，得出BE=CE，过点A作AH//BC交CE与点H，则
?H??BCE??ACE,?EAH??B，得出AH=AC，?H??EAH，得出AE=HE，
由等腰三角形的性质可得出HF=CF，即可得出结论；
②证明AHF?DCF，得出AH=DC，求出HF=CF=a，HE=HF-EF=a-b，CE=a+b，由
AH//BC得出
【详解】
AHAEa?b??，进而得出结论． BCBEa?b
解：（1）∵?BAC?96?，?B?28?， ∴?ACB?180??96??28??56?， ∵CE为三角形的角平分线， ∴?ACE?12?ACB?28?， ∵AD?CE，
∴?CAF?90??28??62?， ∴?BAD?96??62??34?． 故答案为：34；
（2）①证明：∵?ACB?2?B?2?BCE ∴?B??BCE ∴BE?CE
过点A作AH//BC交CE与点H，如图所示：
则?H??BCE??ACE,?EAH??B ∴AH=AC，?H??EAH ∴AE=HE ∵AD?CE ∴HF=CF ∴AB=HC=2CF；
②在△AHF和DCF中，
???H??DCF?HF?CF? ??AFH??DFC∴AHF?DCF ∴AH=DC
∵CF ?a,EF?b ∴ HF?CF?a，由①得 AE?HE?HF?EF?a?b，∵ AH//BC ∴
AHBC?AEa?bBE?a?b
BE?CE?a?b
北京良乡第四中学数学轴对称解答题单元复习练习(Word版 含答案)
