北京良乡第四中学数学轴对称解答题单元复习练习(Word版 含答案)
一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）
1．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为 ． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】
定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可； （1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答； （2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答. 【详解】 解：定理证明： ∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°． 又∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PAC≌△PBC（SAS）， ∴PA＝PB．
定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．
∵直线m是边BC的垂直平分线， ∴OB＝OC，
∵直线n是边AC的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∴OA＝OB ∵OH⊥AB， ∴AH＝BH；
（2）如图③中，连接BD，BE．
∵BA＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠C＝30°，
∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E， ∴DA＝DB，EB＝EC，
∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，
∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC， ∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE， ∴DE＝5， 故答案为：5． 【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.
2．（1）问题发现．
如图1，?ACB和?DCE均为等边三角形，点A、D、E均在同一直线上，连接BE．
①求证：?ADC≌?BEC． ②求?AEB的度数．
③线段AD、BE之间的数量关系为__________． （2）拓展探究．
如图2，?ACB和?DCE均为等腰直角三角形，?ACB??DCE?90?，点A、D、E在同一直线上，CM为?DCE中DE边上的高，连接BE．
①请判断?AEB的度数为____________．
②线段CM、AE、BE之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明） 【答案】（1）①详见解析；②60°；③AD?BE；（2）①90°；②AE?BE?2CM 【解析】 【分析】
（1）易证∠ACD＝∠BCE，即可求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD＝BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小；
（2）易证△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，进而可以求得∠AEB＝90°，即可求得DM＝ME＝CM，即可解题． 【详解】
解：（1）①证明：∵?ACB和?DCE均为等边三角形， ∴AC?CB，CD?CE，
又∵?ACD??DCB??ECB??DCB?60?， ∴?ACD??ECB， ∴?ADC≌?BEC?SAS?． ②∵?CDE为等边三角形， ∴?CDE?60?．
∵点A、D、E在同一直线上， ∴?ADC?180???CDE?120?， 又∵?ADC≌?BEC， ∴?ADC??BEC?120?，
北京良乡第四中学数学轴对称解答题单元复习练习(Word版 含答案)
