第2课时 圆的参数方程
[核心必知]
如图，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0(t＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为ω，以圆心O为原点，OM0所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
(1)在t时刻，M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|xy＝r，那么由三角函数定义，有cos ωt＝，sin ωt＝，即圆心在原点O，半径为r的圆的
rr??x＝rcos ωt，参数方程为?(t为参数)．其中参数t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时?y＝rsin ωt?
刻．
(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为
??x＝rcos θ，?(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O逆时?y＝rsin θ?
针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．
[问题思考]
?x＝Rcos θ，?
1．方程?(θ为参数，0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的
?y＝Rsin θ?
参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？
xy
提示：以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝R2，即()2＋()2＝1，
RR
1
x
＝cos θ，?R?x＝Rcos θ，令则?
y?y＝Rsin θ.?＝sin θ，R
???
2．若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程是什么？
??x＝x0＋Rcos θ，
提示：圆的参数方程为?(0≤θ<2π)
?y＝y＋Rsin θ.?0
点M在圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)上，O为原点，x轴的正半轴绕原点旋转到
OM形成的角为φ，以φ为参数．求圆的参数方程．
[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法，解答此题需要借助图形分析圆上点M(x，y)的坐标与φ之间的关系，然后写出参数方程．
如图所示，设圆心为O′，连接O′M
①当M在x轴上方时，∠MO′x＝2φ.
?x＝r＋rcos 2φ，?
∴? ?y＝rsin 2φ.?
②当M在x轴下方时，∠MO′x＝－2φ，
??x＝r＋rcos （－2φ），∴? ?y＝－rsin （－2φ）.??x＝r＋rcos 2φ，?即? ?y＝rsin 2φ.?
π③当M在x轴上时，对应φ＝0或φ＝±.
2综上得圆的参数方程为
2
??x＝r＋rcos 2φ，ππ?(φ为参数且－≤φ≤)
22?y＝rsin 2φ.?
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(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程表示的曲线却可以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．
(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把
?x＝r＋rcos φ，?
参数方程写成?φ的意义就改变了．
?y＝rsin φ.?
1．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________． 解析：把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0 4t4t2
得x＝，y＝，
1＋t21＋t2
?∴参数方程为?4t
y＝
?1＋t.
x＝
22
4t，1＋t2
?答案：?4t
y＝?1＋t
x＝
2
4t，1＋t2
2
(t为参数)
??x＝cos θ，
已知点P(2，0)，点Q是圆?(θ为参数)上一动点，求PQ中点的
??y＝sin θ轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
[精讲详析] 本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求法．解答本题需设出PQ的中点M的坐标为(x，y)，然后利用已知条件中的参数分别表示x，y，从而求出轨迹方程，根据方程说明轨迹的形状．
θ1
，?x＝1＋cos θ，?x＝2＋cos 22
设中点为M(x，y)，?即?
10＋sin θ?y＝2，?y＝2sin θ.
3
高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案： 第二讲 第1节 第2课时 圆的参数方程含答案
