全国高中数学联赛模拟试题(八)
姓名______ 得分______
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、 设集合M={?2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M→N使对任意的x∈M，都有
x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是
（A）45 （B）27 （C）15 （D）11
2、 已知sin2=a，cos2=b，0＜＜
????，给出tan????值的五个答案：
4?4?③
①
b； 1?aa?b?1．
a?b?1②
a； 1?b1?b； a④
1?a； ⑤b其中正确的是：
（A）①②⑤ （B）②③④ （C）①④⑤ （D）③④⑤
3、 若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体
的一条对角线贯穿的小长方体的个数是
（A）64 （B）66 （C）68 （D）70
4、 递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是
若干个3的幂之和，则此数列的第100项为 （A）729 （B）972 （C）243 （D）981
1594m?15、 Cn?Cn?Cn???Cn（其中m??，[x]表示不超过x的最大整数）的?4???n?1?值为 （A）2cosnn? 4
（B）2sinnn? 4（C）
1?n?1n??n?2?2cos? 2?4? （D）
1?n?1n??n?2?2sin? 2?4?6、 一个五位的自然数abcde称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d＞e（如
12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是
（A）8568 （B）2142 （C）2139 （D）1134
二、填空题：（每小题9分，共54分）
x2y2??1上任意一点P，作椭圆的右准线的垂线PH（H为垂足）1、 过椭圆，并延长32PH到Q，使得HQ=PH（≥1）．当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的
取值范围是
．
2、 已知异面直线a、b所成的角为60°，过空间一点P作与a、b都成角（0＜＜
90°）的直线l，则这样的直线l的条数是f()= ． 3、 不等式
?1?4x21?2x?2?2x?9的解集为 ．
4、 设复数z满足条件|z?i|=1，且z≠0，z≠2i，又复数使得
则复数?2的辐角主值的取值范围是 ． 5、 设a1,a2,…,a2002均为正实数，且
??2iz为实数，??z?2i1111?????，则a1a2…a2002
2?a12?a22?a20022的最小值是 ．
6、 在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”
数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n（n为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为 ． 三、（20分）
已知数列{an}是首项为2，公比为（1） 用Sn表示Sn+1；
（2） 是否存在自然数c和k，使得
1的等比数列，且前n项和为Sn． 2Sk?1?c＞2成立．
Sk?c 四、（20分）
设异面直线a、b成60°角，它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，两端点A、B分别在a、b上移动．求线段AB中点P的轨迹方程．
五、（20分）
+
已知定义在R上的函数f(x)满足
+
（i）对于任意a、b∈R，有f(ab)=f(a)+f(b)； （ii）当x＞1时，f(x)＜0； （iii）f(3)=?1．
2+
现有两个集合A、B，其中集合A={(p,q)|f(p+1)?f(5q)?2＞0，p、q∈R}，
集合B={(p,q)|f(明理由．
p1+
)+=0，p、q∈R}．试问是否存在p、q，使A?B??，说q2
第二试
一、（50分）
如图，AM、AN是⊙O的切线，M、N是切点，L是劣弧MN上异于M、N的点，过
点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P．若S⊙O?2?3S△POQ，求证：∠
POQ=60°．
M P
O L A N
Q
二、（50分）
已知数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1?an（n≥1）．求所有的正整数n，使得1+5anan+1
是完全平方数．
三、（50分）
设M为坐标平面上坐标为(p·2002,7p·2002)的点，其中p为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：
（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且M是直角顶点； （2） 三角形的内心是坐标原点．
参考答案 第一试
一、选择题： 题号 答案
二、填空题：
1 A 2 C 3 B 4 D 5 D 6 B
?3?1、?,1??； 3??
?0,0????30??1,??30???2、f?????2,30????60?；
?3,??60????4,0????90?4、???arctan
3、???1??45?,0???0,?； 2???8?2002
??4?,??； 3?
5、4002；
1?10n?18n?1142??6、?． ???2?9763??三、（1）Sn?1?
1Sn?2； 2 （2）不存在．
x2?y2?1． 四、9
五、不存在．
第二试
一、证略；
二、n=3．
三、 p≠2,7,11,13时，324个；p=2时，162个；p=7,11,13时，180个．
全国高中数学联赛模拟试题(八)
