??x＝2cos α
1．(2018·益阳、湘潭调研)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为?(α为参数)．以直角坐标
?y＝sin α?
π1
θ＋?＝.直线l与曲线系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos??3?2C交于A，B两点．
(1)求直线l的直角坐标方程； (2)设点P(1，0)，求|PA|·|PB|的值．
π1ππ1
θ＋?＝得ρcos θcos －ρsin θsin ＝， 解：(1)由ρcos??3?2332又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
所以直线l的直角坐标方程为x－3y－1＝0.
??x＝2cos α
(2)由?(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4，
?y＝sin α?
?x＝23t＋1因为P(1，0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为?(t为参数)，
1?y＝2t
将其代入x2＋4y2＝4得7t2＋43t－12＝0， 12
所以t1·t2＝－，
7故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝12
. 7
??x＝3cos θ
2．(2018·合肥第一次质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1：?(θ为参数)，在以O为极点，x
?y＝2sin θ?
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ－2cos θ＝0.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值． 解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0.
因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，所以x2＋y2－2x＝0， 即曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)由(1)可知，圆C2的圆心为C2(1，0)，半径为1. 设曲线C1的动点M(3cos θ，2sin θ)， 由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.
因为|MC2|＝（3cos θ－1）2＋4sin2θ＝5cos2θ－6cos θ＋5， 345
所以当cos θ＝时，|MC2|min＝，
55
所以|MN|min＝|MC2|min－1＝
45
－1. 5
??x＝cos θ
3．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为?(θ为参数)，过点(0，－2)?y＝sin θ?
且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1. π
当α＝时，l与⊙O交于两点．
2
π?2?当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当??＜1， 2?1＋k2?解得k＜－1或k＞1， ππ?π3π
，或α∈?，?. 即α∈??42??24?π3π?
综上，α的取值范围是??4，4?.
?x＝tcos απ3π(2)l的参数方程为?(t为参数，＜α＜)．
44?y＝－2＋tsin α
tA＋tB
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－22tsin α＋1＝0.
2于是tA＋tB＝22sin α，tP＝2sin α.
?x＝tPcos α，
又点P的坐标(x，y)满足?
?y＝－2＋tPsin α，
所以点P的轨迹的参数方程是
?x＝22sin 2α
π3π
(α为参数，＜α＜)． ?4422
?y＝－2－2cos 2α
4．(2018·昆明调研)在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2，1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.
??x＝2＋tcos α解：(1)直线l的参数方程为?(t为参数)．
?y＝1＋tsin α?
曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0， 3
由Δ＝(4cos α)2－4×3>0，得cos2α>，
4
由根与系数的关系，
得t1＋t2＝－4cos α，t1·t2＝3，
由参数的几何意义知，|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|， 由题意知，(t1－t2)2＝t1·t2， 则(t1＋t2)2＝5t1·t2， 得(－4cos α)2＝5×3，
153解得cos2α＝，满足cos2α>，
16411
所以sin2α＝，tan2α＝，
1615所以直线l的斜率k＝tan α＝±15
. 15
5．(一题多解)(2018·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1，0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
π
(2)若α＝，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．
4
?x＝1＋tcos α?
解：(1)由题知直线l的参数方程为?(t为参数)．
?y＝tsin α?
8cos θ
. 1－cos2θ
8cos θ
因为ρ＝，
1－cos2θ所以ρsin2θ＝8cos θ，
所以ρ2sin2θ＝8ρcos θ，即y2＝8x.
2
x＝1＋t?2π
(2)法一：当α＝时，直线l的参数方程为?(t为参数)，
42
?y＝2t代入y2＝8x可得t2－82t－16＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝82， t1·t2＝－16，
所以|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1·t2＝83. π2
又点O到直线AB的距离d＝1×sin ＝，
42112
所以S△AOB＝|AB|×d＝×83×＝26.
222π
法二：当α＝时，直线l的方程为y＝x－1，
4设M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由?
?y2＝8x，?
得y2＝8(y＋1)，即y2－8y－8＝0，
?y＝x－1，?
??y1＋y2＝8，由根与系数的关系得?
?yy＝－8，?12
1111
S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×（y1＋y2）2－4y1y2＝×82－4×（－8）＝×46＝26.
2222
?x＝tcos α?
6．(2018·陕西教学质量检测(一))在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为?(t>0，α
?y＝sin α?
π
θ＋?＝为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin??4?3.
(1)当t＝1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值； (2)若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围． π
θ＋?＝3得ρsin θ＋ρcos θ＝3， 解：(1)由2ρsin??4?把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，
?x＝cos α?
当t＝1时，曲线C的参数方程为?(α为参数)，
?y＝sin α?
消去参数得曲线C的普通方程为x2＋y2＝1，
|0＋0－3|32所以曲线C为圆，且圆心为O，则点O到直线l的距离d＝＝，
2232
所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1＋.
2(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的下方， 所以对任意的α∈R，tcos α＋sin α－3<0恒成立， 1
其中tan φ＝?恒成立， 即t2＋1cos(α－φ)<3?t??所以t2＋1<3， 又t>0，所以0 所以实数t的取值范围为(0，22)． ?x＝tcos α? 7．(2018·福州模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C：?(α为参数，t>0)．在以O为极点，x轴的正 ??y＝sin α π θ－?＝2. 半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcos??4?(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围； (2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为 6 ＋2，求t的值． 2 π θ－?＝2，即ρcos θ＋ρsin θ＝2， 解：(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos??4?所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝2. ??x＝tcos α 因为曲线C的参数方程为?(α为参数，t>0)， ?y＝sin α? x22 所以曲线C的普通方程为2＋y＝1(t>0)， t x＋y＝2，?? 由?x22消去x得，(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0， ??t2＋y＝1，所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)<0， 又t>0，所以0 (2)由(1)知直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0， |tcos α＋sin α－2|故曲线C上的点(tcos α，sin α)到l的距离d＝， 2t2＋1＋2 故d的最大值为， 2t2＋1＋26 由题设得＝＋2. 22解得t＝±2. 又t>0，所以t＝2. ??x＝2cos α 8．(2018·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(α为参数)，以原点O ?y＝2＋2sin α? 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ(ρ≥0，0≤θ<π)． (1)写出曲线C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标； ππ|OA| ≤β≤?与曲线C1，C2分别交于点A，B(A，B异于原点)，求(2)射线θ＝β?的取值范围． 3??6|OB|解：(1)由题意可得曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝4， 把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ， ??ρ＝4sin θ， 联立? ?ρcos2θ＝sin θ，? 得4sin θcos2θ＝sin θ，此时0≤θ<π， ①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0，0)； π11π 23，?， ②当sin θ≠0时，cos2θ＝，当cos θ＝时，θ＝，ρ＝23，得交点的极坐标为?3??4232π12π 23，?， 当cos θ＝－时，θ＝，ρ＝23，得交点的极坐标为?3??23π2π 23，?，?23，?. 所以C1与C2交点的极坐标为(0，0)，?3??3??(2)将θ＝β代入C1的极坐标方程中，得ρ1＝4sin β， sin β 代入C2的极坐标方程中，得ρ2＝2， cosβ|OA|4sin βππ所以＝＝4cos2β，因为≤β≤， |OB|sin β63 2cosβ |OA| 所以1≤4cos2β≤3，所以的取值范围为[1，3]． |OB|
2019届高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题七 1 第1讲 专题强化训练（含解析）
