小学六年级奥数
第二讲 比和比例
教学目标：
1、比例的基本性质
2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题
3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题 知识点拨：
比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考
试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：
一、比和比例的性质
性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；
性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比． 二、主要比例转化实例 ①
② ③ ④
xyxyxyxy?abababab
?
yx?ba?；
ab?xa?xyyb?；
mambax?by；
?0)；
??mxmyx；
a(其中m?? ? ，
yz?cd；
xz?acbdx?yxa?bax?ya?b；
x?yx?y?a?ba?b ；?
? ?
db；x:adbcy:z?ac:bc:bd；
⑤ x的
ca等于y的，则x是y的，y是x的
bcad．
三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配
例如：将x个物体按照a:b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x的比分别为a:?a?b?和b:?a?b?，所以甲分配到
axa?b个，乙分配到
bxa?b个.
⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题 例如：两个类别A、B，元素的数量比为a:b(这里a元素数量为
bxa?b?b)，数量差为x，那么A的元素数量为与a或b的比值．
axa?b，B的
，所以解题的关键是求出?a?b?四、比例题目常用解题方式和思路
解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：
1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。 2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。
3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。
4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。 5. 赋值解比例问题 例题精讲：
模块一、比例转化
【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的
3112，丙等于甲、乙两
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数和的
57，求甲:乙:丙.
113+1?14【解析】 由甲等于乙、丙两数和的，得到甲等于三个数和的
3，同样的乙等于甲、丙两数和的
142312+1?13，
同样的丙等于甲、乙两个数和的
57?5?512 ，所以甲:乙:丙?:1312:5?3:4:523．
【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的
这三个数的比为多少？
【解析】 甲的一半、乙的
2，那么甲的、乙的2倍、丙的一半
倍、丙的即2:即
1283:3223这三个数的比为1，所以甲、乙、丙这三个数的比为:1:1231?2???1?:1?2:1???????2?3???，化简为4:1:3，那么甲的
32、乙的2倍、丙的一半这三个数的比
为?4???2?1??:1?2:3??????3?2??:2:，化简为16:12:9.
45【例 3】 如下图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的
161，且圆A中的阴影部分面积占圆A面积的
1，圆B的阴影部分面积占圆B面积的，圆C的阴影部分面积占圆C面积的．求圆A、圆B、
53圆C的面积之比．
ABC【解析】 设
A?A54与?BB?C的共同部分的面积为??6?x??y?54x，
C3A与
C
的共同部分的面积为
54y，则根据题意有
，
x?B5，
y?，于是得到?B?C?C??B?6???3??5，这条式子可化简为
B?15C，所以A?B?C??20C.最后得到A:B:C?20:15:1.
【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，
甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3．求丙组中男、女会员人数之比． 【解析】 以总人数为1，则甲组男会员人数为
810?8?721010?8?7?33?1?310，女会员为
3310?13?110，乙组男会员为，女会员为
?55?3?15，女会员为
15?35?325；丙组男会员为
110:1?1?3?????3+2?105?103?9?1?????3+2?1025?50；所以，丙组中男、女会员人数之比为
950?5:9．
【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一段时间后，分别剩下60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比3:1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.
【解析】 (法一)甲工程队以3倍乙工程队建设速度，仅完成了40%的承包任务，而乙工程队完成了60%，所
以甲工程队承包任务的40%等于乙工程队承包任务的60%?3?180%，所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的180%?40%?450，%所以两个工程队承包的修建公路长度之比为450%:?19:．2
(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于3:1，而他们分别完成了各自
任务的40%和60%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为?3?40%?:?1?60%??9:2．
【例 5】 某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之
和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？
【解析】 会员总人数100人，男女比例为14:11，则可知男、女会员人数分别为56人、44人；又已知甲组人
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数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为50人，乙、丙人数之和为50人，可设丙组人数为x人，则乙组人数为?50?x?人，又已知甲组男、女会员比为12:13，则甲组男、女会员人数分别为24人、26人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：24?58(50?x)?2323x?56，解得x?18．即
丙组会员人数为18人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为18??12人．
【例 6】 (2007年华杯赛总决赛)A、B、由甲、乙、丙三队分别承担．三C三项工程的工作量之比为1:2:3，
个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？
【解析】 根据题意，如果把A工程的工作量看作1，则B工程的工作量就是2，C工程的工作量就是3． 设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为x、y、z.经过k天，则：
?ky?2kx?2??kz?3ky?3??kz?1?kx????????1 ??2?3??2?kx3???4??47k 将⑶代入⑵，得ky将⑷代入⑴，得2kx将x?47k?2??，
2?kx367k，x，
?37k代入⑴，得y．代入⑶，得z．
47k:67k:37k?4:6:3 甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是．
【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖
的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？
【解析】 由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为6:5，不妨设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖．由
③知两校获二等奖的共有(60?50)?20%?22人；由⑤知甲校获二等奖的有22?(4.5?1)?4.5?18人；由④知甲校获一等奖的有60?60?50%?18?12人，那么乙校获一等奖的也有12人，从而所求百分数为12?50?100%?24%．
【例 7】 ①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数
多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？
【解析】 如下表所示，由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1；由③知，四至九班的男生
总数比四、五、六班总人数少1． 一班男生 比 二、三班女生 多1人 加上 二、三班男生 二、三班男生 一、二、三班男生 比 二、三班总人数 多1人 七、八、九班男生 比 四、五、六班女生 少1人 加上 四、五、六班男生 四、五、六班男生 四、五、六、七、八、九班男生 比 四、五、六班总人数 少1人 因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和，由于每班人数均相等，则女生总数等于四个班的人数之和．所以，男、女生人数之比是5:4．
模块二、按比例分配与和差关系 （一）量倍对应
【例 8】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，
求一共有多少个苹果？
【解析】 一共有16??13?11???13?11??192个苹果. 【巩固】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的
藏书数量.
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【解析】 根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的
以小新拥有的藏书数量为52?有的藏书数量为52?63?4?633?4?6?1233?4?6、
43?4?64、
?1663?4?6，所
本，小志拥有的藏书数量为52?本，小刚拥
3?4?6?24本.
【巩固】 在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资
的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元．
【解析】 由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18元，那么甲、乙所捐资的
和为：乙、丙所捐资的和为60?18?42元．所以，甲捐了80?42?38(元)，18?(10?7)?10?60(元)，
乙捐了60?38?22(元)，丙捐了38?18?20(元)． 【巩固】
有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的
311233?2相等，求两个班各分到多少皮
球？
【解析】 根据题意可知一班与二班分到的球数比
12:13?3:2，所以一班分到皮球120??72个，二班分到
皮球120?72?48个．
【例 9】 一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为
4:5．求原来两班的人数． 【解析】 原来一班的人数为两班总人数的
班人数的比值为
48?8?7?42815:49?6:588?7?815?5??6?48，调班后一班的人数是两班人数的
44?5?49，调班前后一
，所以一班原来的人数为8??6人，二班原来的人数为
人. 【例 10】 幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数
与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？
【解析】 由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假设18名女生全部是
大班，则大班男生数：女生数?5:3?30:18，即男生应有30人，实际上男生有32人，相差2个人；又中班男生数：女生数?2:1?6:3，以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，所以需要换2组；所以，大班女生有18?3?2?12(名)．
【巩固】 参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，
三个年级参加植树的各有多少人?
【解析】 假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有720?80?800人，四、五、六三个年级的
人数比为3:2:3，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级参加植树的
人数．六年级：800?33?2?3?300人；五年级：800?23?2?3?200人；四年级：300?80 ?220人．
【巩固】 圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每
支多少元?
【解析】 设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20×4+21×3=143，
则单位“1”的价格为71.5÷143=0.5元．所以圆珠笔的单价是O.5×4=2(元)．
【例 11】 甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，沿长方形的边爬去，结果在
甲距B点2厘米的C点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍，求A这个长方形的周长．
【解析】 两只蚂蚁在距B点2厘米的C点相遇，说明乙比甲一共多走了
2?2?4(厘米)．又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的1.2倍，相同时C乙间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：1＝6：5，
B所以甲爬的路程是4??6?5??5?20(厘米)，乙爬的路程是20?4?24(厘米)，长方形的周长为20?24?44(厘米)．
【例 12】 甲乙两车分别从 A， B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速
度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？
【解析】 甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4．8
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＝5∶6．相遇时，甲、乙分别走了全程的
59和
49。设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的
49?5?6?815长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的4/9，所以乙行驶了全长的共行了全长
49?815?4445，所以乙一
，还剩1-
4445＝
145，没有走所以A、B全长为450千米.
【例 13】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，
师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？ 【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是
徒弟分别完成总量的
55?3135?3915:1?5:3，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与
55?3?35?3)?400和，师傅和徒弟一共加工了100?(个零件
【巩固】 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成
任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？ 【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是
傅与徒弟分别完成总量的
55?311915:1?5:3，而工作时间相同，则工作量与工作效率成正比，所以师
和
35?3，师傅比徒弟多加工零件400??1?5?5?3????1005?3?3个．
【例 14】 A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是空的；若将A桶水的
全部和B桶水的，或将B桶水的全部和A桶水的倒入C桶，C桶都恰好装满．求A、B、C三
53112365?15?75个水桶容积各是多少公升？
【解析】 根据题意可知，所以A桶水的A桶水的全部加上B桶水的等于B桶水的全部加上A桶水的，
534565:1:75?6:5:7?23?65等
于B桶水的
BA45，那么A桶水的全部等于B桶水的，C桶水为B桶水的．所以A、
、C三个水桶的容积之比是桶的容积是1440?76?66?5?7．又A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，所以桶的容积是
480?56?400?48公0升，B公升，C桶的容积是
480? 56公升．012【巩固】 学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的
37，等于五年级学生的
25，等于四
年级学生的。这三个年级各有多少名学生学生？
12【解析】 将六年级学生的，等于五年级学生的
25，等于四年级学生的
37，看作一个单位，那么六年级学生
73人数等于2个单位，五年级学生等于2.5个单位，四年级学生等于四年级学生人数的比为2：学生人数为615?1512?15?1457：?12：15：1423?22545学生，所以六年级、五年级、
1212?15?14?210，所以六年级学生人数为615?14=180人，五年级人
人，四年级学生人数为615?12?15?14【例 15】 一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去21厘米，长边截去35%以后，得到一块正方形铁板．问
16，:1所3原来长方形铁板的长是多少厘米? 【解析】 如果只将长边截去35%，宽、长之比为
21?(1?61?3)1?64:???5?451?35???%?以宽边的长度为
厘米，所以原来铁板的长为1112??140厘米．
【巩固】 一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方
形面积相等．原正方形的边长是多少米?
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六年级奥数-第二讲 比和比例 教师版
