光学Mach-Zehnder干涉仪的宇称测量研究
王 帅，裴明旭，朱小芹
【摘 要】摘要：Mach-Zehnder干涉仪是量子精密测量中一种典型的光学仪器．对于一般的双模量子纯态作为探测态时，借助量子力学中最基本的狄拉克符号法和量子力学表象变换理论，给出了宇称算符在Mach-Zehnder干涉仪输出端量子态中期望值的一种简单计算方法． 【期刊名称】大学物理 【年(卷),期】2018(037)012 【总页数】4
【关键词】宇称测量；MZI干涉仪；Fock态；狄拉克符号法 修回日期：2018-04-21
基金项目：国家自然科学基金(11404040)；江苏高校‘青蓝工程’；基于网络的PCI实践教学模式探索与研究项目资助
宇称算符是量子力学中一种简单的可测量量. 虽然它是没有经典对应的物理量，却在量子力学、量子光学等领域得到了重要应用．譬如，宇称算符可用于处理一维谐振子、一维对称方势阱[1]；量子光学中准概率相空间Wigner分布函数亦是宇称算符的期望值[2]．最近，宇称算符在量子精密测量中也得到了广泛关注[3]．在量子精密测量中，光学Mach-Zehnder干涉仪(MZI干涉仪)是一种最典型的且已被广泛研究的相位估计模型．利用MZI干涉仪对相位进行测量时，求解宇称算符在MZI干涉仪输出端量子态中的期望值，称为宇称测量． 1981年，Caves教授提出在MZI干涉仪两个端口分别输入相干态和压缩真空作为探测态(输入态)[4]，发现对相位的测量精度将会大大超越经典统计学中的
标准量子极限[5]，甚至达到海森伯精度极限[6,7]．这一研究结果在德国的GEO600引力波探测器和美国的汉福德激光干涉引力波天文台得到了重要应用[8,9]．基于宇称测量等探测方案，人们发现了更多的可以用于提高测量精度的探测态，譬如N00N态[3]．另外，Gerry研究并给出双孪子Fock态(具有相同光子数的双模Fock态)作为探测态时，宇称测量的结果[10]．基于Gerry的研究结果[10]，双模压缩真空态、光子扣除或增加双模压缩真空态作为干涉仪的探测态，它们在提高相位测量精度的性能表现得到了进一步的研究[11-13]． 对于量子精密测量中的宇称测量方案，推导出宇称算符在MZI干涉仪输出端量子态中的期望值是关键一步．在量子力学中，一般的双模纯态都可以在Fock空间展开成 (1)
式中cm,n为展开系数.因此，以一般的双模Fock态|m〉a|n〉b作为探测态，计算出宇称测量的结果具有一定的普适意义．本文将基于量子力学最基本的狄拉克符号法和宇称算符的相干态表象表示，把文献[10]的工作推广到一般双模Fock态的情况，并给出宇称算符在MZI干涉仪输出量子态中期望值的一种简单计算方法．
1 双模Fock态经过MZI干涉仪后的输出量子态
本文考虑一般的双模Fock态作为探测态，并在MZI干涉仪的一个输出端口(比如选择a模输出端口)进行宇称测量．它的工作原理模型如图1所示．
MZI干涉仪由分束器、全反射镜和相位产生器3种关键光学器件构成．通常分束器取为50:50的对称形式，基于Schwinger表象的SU(2)群[14]，分束器BS1和BS2由以下幺正算符描述[15]
(2)
相位产生器(phase shifter)描述光经过干涉仪的两条光路所产生的相位差φ．在真实实验中，它可以用于模拟某些原因(如引力波或者存在某种介质)造成的光程改变所引起的相位差，这正是需要测量的相位．相位产生器也由一个幺正算符来描述，即
U(φ)=exp[iφ(a?a-b?b)/2] (3)
幺正算符UBS和U(φ)对MZI干涉仪输入端的玻色产生算符的变换关系为 UBSa? (4) 以及
U(φ)a?U?(φ)=a?eiφ/2， U(φ)b?U?(φ)=b?e-iφ/2 (5)
当某一个量子态(以纯态为例)作为输入态时，MZI干涉仪输出的量子态为 |out〉MZI=UBS2U(φ)UBS1|ψ〉in (6)
通过以上幺正变换关系式(4)和(5)，原则上可以导出量子态经过MZI干涉仪后的输出量子态．
对于一般双模Fock态作为MZI干涉仪的探测态，若继续按照文献[10]所给出的方式来推导输出量子态是十分困难的，也给后面的宇称测量带来极大的不便．为了简化宇称测量的计算过程，本文首先将一般的双模Fock态写成如下指数形式，即
光学Mach-Zehnder干涉仪的宇称测量研究
