第4讲 二次函数与幂函数
[考纲解读] 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质，能利用二次函数、二次方程与二次不等式之间的关系解决简单问题．(重点、难点)
1123
2.掌握幂函数的图象和性质，结合函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的图象，了解它
x2们的变化情况．(重点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2020年高考对二次函数可能会直接考查，也可能会与其他知识相结合进行考查，考查三个二次之间的关系、函数最值的求解、图象的判断等．在解答题中也可能会涉及二次函数．幂函数的考查常与其他知识结合，比较大小、图象及性质的应用为重点命题方向.
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
01ax2＋bx＋c(a≠0)． ①一般式：f(x)＝□02a(x－m)2＋n(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝□03a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． ③两根式：f(x)＝□(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 续表
R R 1
2．幂函数 (1)幂函数的定义
01y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． 一般地，形如□(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
2
1．概念辨析
1 3
(1)函数y＝2x 是幂函数．( )
(2)当α<0时，幂函数y＝x是定义域上的减函数．( ) (3)二次函数y＝ax＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
(4)在y＝ax＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身
(1)若a<0，则0.550.2的大小关系是( ) A．0.2<5<0.5 C．0.5<0.2<5 答案 B
解析 因为a<0，所以函数y＝x在(0，＋∞)上是减函数，又因为0.2<0.5<5，所以0.2>0.5>5，即5<0.5<0.2.
(2)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，2)，则函数的解析式为________． 1
2
答案 f(x)＝x
aaaaaaaaaaaaaa,a,a2
2
α
B．5<0.5<0.2 D．5<0.2<0.5
aaaaaa 3
1 2ααα
解析 设f(x)＝x，因为函数f(x)的图象过点(2，2)，所以2＝2，即2 ＝2，1 21
所以α＝，所以f(x)＝x .
2
(3)若二次函数y＝－2x－4x＋t的图象的顶点在x轴上，则t的值是________． 答案 －2
解析 y＝－2x－4x＋t＝－2(x＋2x)＋t＝－2[(x＋1)－1]＋t＝－2(x＋1)＋2＋t. 因为此函数的图象的顶点(－1,2＋t)在x轴上，所以2＋t＝0，所以t＝－2. (4)函数f(x)＝－x＋2x(0≤x≤3)的值域是________． 答案 [－3,1]
解析 因为f(x)＝－x＋2x＝－(x－1)＋1，所以f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，又因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－3，所以函数f(x)的值域为[－3,1]．
题型 一 幂函数的图象与性质
1．已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)－f(1)＝( ) A．3 B．1－2 C.2－1 D．1 答案 C
1αα
解析 设f(x)＝x，因为函数f(x)的图象经过点(9,3)，所以3＝9，解得α＝.所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
f(x)＝x.所以f(2)－f(1)＝2－1.
2．若四个幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x在同一坐标系中的图象如图所示，则a，
abcd12
b，c，d的大小关系是( )
4
A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c 答案 B
12
解析 观察图象联想y＝x，y＝x，y＝x－1在第一象限内的图象，可知c<0，d<0,0 2由图象可知2>2，所以c>d. 综上知a>b>c>d. 11 222 3．若(2m＋1) >(m＋m－1) ，则实数m的取值范围是( ) －5－1?? A.?－∞，? 2??C．(－1,2) 答案 D 1 2 解析 因为函数y＝x 在[0，＋∞)是增函数， 11 222 且(2m＋1) >(m＋m－1) ， 2m＋1≥0，??2 所以?m＋m－1≥0， ??2m＋1>m2＋m－1， B.?D.? cd?5－1? ，＋∞? ?2??5－1? ，2? ?2? α 解得 5－1 ≤m<2. 2 1．求幂函数的解析式 幂函数的形式是y＝x(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． 2．幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0,1时，幂函数y＝x在第一象限内的图象特征： α α取值 图象 α>1 0<α<1 α<0 特殊点 凹凸性 单调性 举例 过点(0,0)，(1,1) 下凸 递增 上凸 递增 12 过点(0,0)，(1,1) 过点(1,1) 下凸 递减 y＝x2 y＝x y＝x－1， 5
2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4讲二次函数与幂函数讲义理含解析
