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第二章 2.3 等差数列的前n项和 第二课时 等差数列前n项和的应用
课时分层训练
‖层级一‖|学业水平达标|
99
1．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，S11＝2，则a12的值是( ) A．15 B．30 C．31
D．64
11?a1＋a11?11·2a699
解析：选A 2a8＝a7＋a9＝16?a8＝8，S11＝＝＝11a6＝，222a8－a679
所以a6＝2，则d＝2＝4，所以a12＝a8＋4d＝15，故选A.
2．(2018·武昌联考)已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n的值为( )
A．18 C．20
B．19 D．21
解析：选C 由a1＋a3＋a5＝105?a3＝35，a2＋a4＋a6＝99?a4＝33，则{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此当Sn取得最大值时，n＝20.故选C.
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且3a3＝a6＋4.若S5<10，则a2的取值范围是( )
A．(－∞，2) C．(1，＋∞)
B．(－∞，0) D．(0,2)
解析：选A 设等差数列{an}的公差为d，∵3a3＝a6＋4， ∴3(a2＋d)＝a2＋4d＋4，可得d＝2a2－4. ∵S5<10，∴
5?a1＋a5?5?a2＋a4?5?2a2＋2d?
＝＝ 222
＝5(3a2－4)<10，解得a2<2.
∴a2的取值范围是(－∞，2)．故选A.
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4．“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭，点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是( )
A．10 min C．15 min
B．13 min D．20 min
解析：选C 由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a1＝2为首项，n?n－1?
公差d＝2的等差数列，∴n min内通过的路程为Sn＝2n＋2×2＝n2＋n＝n(n＋1)．令Sn＝n(n＋1)＝240，解得n＝15或n＝－16(舍去)．故选C.
5．已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为( )
A．第5项 C．第7项
B．第6项 D．第8项
解析：选C 由S13<0，S12>0，知 13?a1＋a13?13×2a7
＝2＝13a7<0， 212?a1＋a12?12?a6＋a7?
＝＝6(a6＋a7)>0， 22所以a7<0，a6＋a7>0.则a6>0.且a6>|a7|，故选C.
6．已知{an}是各项不为零的等差数列，其中a1>0，公差d<0，若S10＝0，则数列{an}的前n项和取最大值时，n＝ .
10?a1＋a10?解析：由S10＝＝5(a5＋a6)＝0，
2可得a5＋a6＝0，
∴a5>0，a6<0，即数列{an}的前5项和为最大值，∴n＝5. ★答案★：5
7．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 米．
解析：设树苗集中放置在第i号坑旁边，则20名同学往返所走的路程总和
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为
l＝2[(i－1)＋(i－2)＋…＋2＋1＋1＋2＋…＋(19－i)＋(20－i)]×10 ??21?2399?i－2?＋?×20， ＝(i2－21i＋210)×20＝??4????即i＝10或11时，l最小值＝2 000. ★答案★：2 000
8．(2018·福建福州模拟)若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝ .
解析：当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋2＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋2－[(n－1)2－4(n－1)＋2]＝2n－5， 所以a2<0.
故|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝S10＋2(|a1|＋|a2|)＝102－4×10＋2＋2×(1＋1)＝66. ★答案★：66
9．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值．
解：(1)设{an}的公差为d，由S3＝－15得3a1＋3d＝－15. 则由a1＝－7可求得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝－7＋2(n－1)＝2n－9. n?－7＋2n－9?22
(2)由(1)得Sn＝＝n－8n＝(n－4)－16.
2所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
10．已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若{an}是递增数列，求数列{|an|}的前n项和．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d. ?3a1＋3d＝－3，
由题意，得?
?a1?a1＋d??a1＋2d?＝8，?a1＝2，?a1＝－4，?解得或? ?d＝－3?d＝3.
高中数学：第2章 数列 2.3 第2课时
