2.2.2 事件的相互独立性
一、教学目标
知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。
过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
二、教学重难点
教学重点：独立事件同时发生的概率。 教学难点：有关独立事件发生的概率计算。
三、教学过程
复习引入: 1. 事件的定义：
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 m2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率n总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作
P(A)．
3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；
4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0?P(A)?1，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形。 5. 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A）称为一个基本事件。
6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现
1的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是n，这种事件叫等可能性事件。
7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率讲解新课：
1．相互独立事件的定义：
设A, B为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A与事件B相互独立. 事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件. P(A)?mn。
若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立. 2．相互独立事件同时发生的概率：P(A?B)?P(A)?P(B)
问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A，B同时发生，记作A?B．（简称积事件）
从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有5?4种等可能的结
果。同时摸出白球的结果有3?2种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们
都是白球的概率
P(A?B)?3?23?5?410．
35，从乙坛子里摸出
另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率
P(B)?P(A)?1个球，得到白球的概率
24．显然P(A?B)?P(A)?P(B)．
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。一般地，如果事件A1,A2,?,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1?A2???An)?P(A1)?P(A2)???P(An)． 3．对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A?B) 例题讲解：
例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05，求两次抽奖中以下事件的概率： (1)都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码； (3)至少有一次抽到某一指定号码．
解：(1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率
P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.
（2）“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（AB）U（AB）表示．由
于事件AB与AB互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为
P (AB）十P（AB）=P（A）P（B）+ P（A）P（B )
= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.
（3）“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( AB）U（AB）表示．由于事件 AB , AB和AB 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P（AB）+ P（AB ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5. 例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
（1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率？
解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件， （1）2人都射中的概率为：
P(A?B)?P(A)?P(B)?0.8?0.9?0.72，
∴2人都射中目标的概率是0.72．
（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未
击中（事件A?B发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A?B发生）根据题意，事件A?B与A?B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：
P(A?B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B) ?0.8?(1?0.9)?(1?0.8)?0.9?0.08?0.18?0.26
∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．
（3）2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为P?P(A?B)?[P(A?B)?P(A?B)]?0.72?0.26?0.98．
（4）“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：
P?P(A?B)?P(A?B)?P(A?B) ?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)
?0.02?0.08?0.18?0.28．
课堂习题：
习题一.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．
（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
解:（1）设敌机被第k门高炮击中的事件为AK(k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A1?A2?A3?A4?A5．
事件的相互独立性教案定稿
