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习题1.4解答
1. 已知随机变量X的概率分布为P(X?1)?0.2，P(X?2)?0.3，
P(X?3)?0.5，试求X的分布函数；P(0.5?X?2)；画出F(x)的曲线。
解：
?0?0.2?F(x)???0.5??1F(x)曲线：
,x?1
；
,1?x?2,2?x?3,x?3P(0.5?X?2)?0.5
F(x)10.50.2x01232. 设连续型随机变量X的分布函数为
x??1?0,?0.4,?1?x?1? F(x)???0.8,1?x?3?x?3?1,试求:（1）X的概率分布； （2）P(X?2|X?1).
解：
（1）
X P
?1 1 3 0.4 0.4 0.2 P(X??1)2?
P(X?1)3 （2）P(X?2|X?1)? 3. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独
立的，且概率均是0.4，设X为途中遇到红灯的次数，试求（1）X的概率分布； （2） X的分布函数。
解：
（1）P(X?k)?C3()() 列成表格
k25k353?k,k?0,1,2,3
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X p 0 1 2 3 2754368 125125125125,,,,,x?00?x?11?x?2 2?x?3x?3?0?27??125?81 （2）F(x)???125?117?125??1解：
4. 试求习题1.3中第11题X的分布函数，并画出F(x)的曲线。
?0?1211x?x???24F(x)??4111??x2?x?24?12??1
F(x)x??1?1?x?0
0?x?3x?310.25x?10123
5. 设连续型随机变量X的分布函数为
?A?Be?2x,F(x)??0,? 解：
（1）?F(??)?lim(A?Bex????2x?2xx?0x?0
试求:（1）A,B的值； （2）P(?1?X?1)； （3）概率密度函数f(x).
)?1?A?1
又?lim?(A?Bex?0)?F(0)?0?B??A??1
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?2（2）P(?1?X?1)?F(1)?F(?1)?1?e
?2e?2x,x?0（3）f(x)?F'(x)??
,x?0?0 6. 设X为连续型随机变量，其分布函数为
a,x?1;??F(x)??bxlnx?cx?d,1?x?e;
?d,x?e.?试确定F(x)中的a,b,c,d的值。
解： ?F(??)?0?a?1 又?F(??)?1?d?1 又?lim?(bxlnx?cx?1)?a?0x?1?c??1
?be?e?1?1 即b?1
a，试确定a的值并求F(x)2?(1?x) 又?lim?(bxlnx?x?1)?d?1x?e 7. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)?和P(X?1).
解：?即
adx?1 2??(1?x)????a??arctanx|????1?a?1
a11dt??arctanx,???x??? 2?2????(1?t)P(|X|?1)?F(1)?F(?1) 1111?(?arctan1)?[?arctan(?1)]?0.52?2? 8. 假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为
??0.1的Poisson(泊松)分布，X表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），
F(x)?试求:
（1）证明X服从指数分布并求出X的分布函数； （2）今后3年内再次发生地震的概率；
（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。
x解：
（1） 当t?0时，P(X?t)?P(N(t)?0)?e ?F(t)?P(X?t)?1?P(X?t)?1?e 当t?0时，F(t)?0
?0.1t
?0.1t
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?1?e?0.1xx?0 ?F(x)??
x?0?0 X服从指数分布（??0.1）
?0.1?3?0.26 （2）F(3)?1?e（3）F(5)?F(3)?0.13
9. 设X~N(?1,16)，试计算（1）P(X?2.44)； （2）P(X??1.5)；（3）P(X?4)； （4）P(X?1?1).
解：
2.44?(?1)3.44)??()??0.8051 44（2）P(X??1.5)?1?P(X??1.5)
?1.5?11 ?1??()?1??(?)??0.5498
484?1?4?15?3（3）P(|X|?4)??()??()??()??()
444453 ??()??()?1??0.6678
44（4）P(|X?1|?1)?P?(X?0)?(X?2)??P(X?0)?P(X?2)
0?12?113 ??()?1??()??()?1??()??0.8253
4444（1）P(X?2.44)??( 10. 某科统考成绩X近似服从正态分布N(70,10)，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？
2解：?P(X?x|X?60)?而
P?(X?x)?(X?60)?P(X?x)?
P(X?60)P(X?60)?60?70?又 ?P(X?60)?1????0.8413 ???(1)?10?? ?P(X?x)?0.2?0.8413?0.16826
?x?70?即 P(X?x)?1??????(1)?0.16826
10??x?70?x?70??0.96，x?79.6 ?????0.83174，
10?10?22 11. 设随机变量X和Y均服从正态分布，X~N(?,4)，Y~N(?,5)，而p1?P(X???4)，p2?P(Y???5)，试证明 p1?p2.
P(X?x|X?60)?证明：
20 100???4????p1?P(X???4)??????(?1)
4?? 20
p2?P(Y???5)?1??????5?????1??(1)??(?1) 5???p1?p2.
12. 设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令Y量Y的密度函数。
?cX?d?c?0?，试求随机变
解：
??y?d?1y?d?,a??b?fX??fY(y)???c?|c| c?0,其它??1,ca?d?y?cb?d?当c?0时，fY(y)??c(b?a)
?0,其他?1?,cb?d?y?ca?d??当c?0时，fY(y)??c(b?a)
?0,其他?
《概率论与数理统计》课后习题答案chapter1
