《反函数概念与求法》
齐鲁石化总校五中 翟慎佳
课题 课型 教 学 目 标 2002/10/17 《反函数概念与求法》 新授课 （一）知识目标 理解反函数概念及表示符号，加深对函数概念的理解。 （二）能力目标 掌握求反函数一般步骤，会求一些简单函数的反函数。 （三）德育目标 提高学生用辩证的观点分析解决问题的意识。 教学重点 教学难点 教学方法 课时安排 教学器材 精讲精练 设计思路 反函数的概念与求法 反函数的概念与求法 启发引导、精讲精练、CAI 1课时 多媒体计算机、投影议 反函数的概念与求法，是函数内容的进一步深入，既是重点，也是难点。学生在已学过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等简单的函数，积累了一定的“函数模型”；又在高中前一阶段学习了运用集合、对应的思想来刻画、理解函数的一般定义，对函数定义的“映射”本质有了一定的认识。本节课的设计以此为基础，通过以旧引新，使学生理解反函数的概念，加深对函数概念的理解，掌握简单函数的反函数的求法。 教 学 过 程
学 生 活 动 1．新课引入 问题1：（1）走进一家2元商店，买学生回答： y=2x (x?N)； x件商品需要多少钱 （2）量力而行，现有20元钱， 10件； 能买几件商品 1
教 师 活 动 教 学 意 图 通过身边实例创设问题情境，激发学生的学习热情，为引为反函数作准备。 教 师 活 动 学 生 活 动 （3）若有y元（2的倍数）能买几件 yyx=(?N) 第（1）问说明钱数y是购买商品的 22件数x的函数，第（3）问说明x是y的 函数。这两个函数互为反函数。 问题2：我们知道，物体作匀速直线 运动的位移s是时间t的函数，即s=vt, 学生思考 其中速度v是常量。 反过来，也可以由位移s和速度v（常 量）确定物体作匀速直线运动的时间，即 t?s，则t是s的函数。 v两个函数：对应法则恰好相反，定义域 从函数三要s和值域也恰好互换。t?是函数s=vt的反函素方面回答 v数。 问题3：在函数y?2x?6（x?R） 中，x是自变量，y是x的函数。从中师生一起分析 y解出x，得x??3（y?R）. 这样， 2对于y在R 中任何一个值，通过式子 yx在R 中都有唯一的值和它x??3， 2对应。所以，x为y的函数，这时我们 y说x??3（y?R）是函数y?2x?6 2（x?R）的反函数。注意：以上各对 函数中，都存在着关系： ① 它们的对应法则是互逆的； 理解两个函② 它们的定义域和值域互换：即前数的联系。 者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 称这样的函数互为反函数. 2
教 学 意 图 x是 y的函数，对学生来说是陌生的 从物理实例入手，以运动变化观点分析函数关系，渗透反函数概念。 注意函数三要素的变化，揭示反函数的特征。 再举数学实例，揭示反函数现象。提醒学生注意分析方法。 揭示反函数本质特征。 什么是反函数下面分析反函数定义。 教 师 活 动 2．反函数定义 ①一般地，设函数y?f(x)(x?A)的值域是C。②根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=?(y)。③ 若对于y在C中的任何一个值，通过x=?(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=?(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数。④这样的函数x=?(y) (y?C)，叫做函数y?f(x)(x?A)的反函数，记作x?f?1(y).⑤在函数x?f?1(y)中，y是自变量，x表示函数。⑥习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此对调x?f?1(y)中字母x，y，改写成y?f?1(x)。 例如f(t)?vt的反函数就可以写为f?1(t)?t； f(x)?2x?6的反函数为 vf?1(x)?x?3. 2（1） 引导让学生看书5分钟， （2） 然后分6句话详细分析定义 3．正确理解反函数 学 生 活 动 学生看书P66定义，尝试理解 教 学 意 图 感性认识到理性认识。 反函数定义，水到渠成！ 给出定义并学生自己去理解，需逐句理3
解。 教 师 活 动 学 生 活 动 教 学 意 图 4
学生思考并（1）反函数是函数吗为什么 回答。 答：是函数，定义中已说明。 （2）什么样的两个函数才是反函数 答：对应法则相反，定义域和值域恰好互换。 （3）y?f?1(x)的反函数是谁符号f?1(x)读法及含义 答：是y?f(x)，它们互为反函数。 f?1(x)读作f逆，表示逆映射 （4）在映射观点下，什么是反函数呢 答：从映射的定义可知，函数y?f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y?f?1(x)是集合C到集合A的映射， 定义域和值域关系如下表： 函数反函数通过一系列问题使学生正确理解定义，澄清模糊认识。 温故而知新，适时复习映射与函数概念。 y?f(x) y?f?1(x) 定义域 值 域 A C C A （5）什么样的函数有反函数 答：有反函数的充要条件：函数是一一映射。单调函数一定是一一映射必有反函数。 （6）如何求反函数呢 答：用定义。定义给出求反函数的一般步骤。
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反函数教案
