在这120种放法中，排除掉全部不对号的放法，剩下的就是至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数。
为研究全部不对号的放法种数的计算法，设A1为只有一个球放入一个盒子，且不对号的放法种数，显然A1＝0，A2为只有二个球放入二个盒子，且不对号的放法种数，∴ A2＝1，A3为只有三个球放入三个盒子，且都不对号的放法种数，A3＝2，……，A n为有n个球放入n个盒子，且都不对号的放法种数。
下面我们研究A n+1的计算方法，考虑它与A n及A n－1的关系，
如果现在有 n个球已经按全部不对号的方法放好，种数为A n。取其中的任意一种，将第n＋1个球和第n＋1个盒子拿来，将前面n个盒子中的任一盒子(如第m个盒子)中的球(肯定不是编号为m的球)放入第n＋1个盒子，将第n＋1个球放入刚才空出来的盒子，这样的放法都是合理的。共有n A n种不同的放法。
但是，在刚才的操作中，忽略了编号为m的球放入第n＋1个盒子中的情况，即还有这样一种情况，编号为m的球放入第n＋1个盒子中，且编号为n＋1的球放入第m个盒子中，其余的n－1个球也都不对号。于是又有了nA n－1种情况是合理的。
综上所述得A n＋1＝nA n＋nA n－1＝n(A n＋A n－1).
由A1=0, A2=1, 得A3=2(1＋0)=2, A4＝3(2＋1)=9, A5＝4(9＋2)=44.
所以至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数为全部放法的种数减去五个球都不对号的放法种数，即120－44＝76种。
(解法二)
从五个球中选定一个球，有5种选法，将它放入同号的盒子中 (如将1号球放入1号盒子)，其余的四个球随意放，有24种放法，这样共有5×24＝120种放法。
但这些放法中有许多种放法是重复的，如将两个球放入同号的盒子中(例如1号球和2号球分别放入1号盒子、2号盒子中)的放法就计算了两次，这样从总数中应减去两个球放
2P33＝120－60(种)。 入同号的盒子中的情况，得120－C5很明显，这样的计算中，又使得将三个球放入同号的盒子中(例如1号球、2号球和3号球分别放入1号盒子、2号盒子和3号盒子中)的放法少计算了一次，于是前面的式子中
2又要加入C35P2＝20种，
再计算四个球、五个球放入同号盒子的情况，于是再减去四个球放入同号盒子中的情
41P1，最后加上五个球放入同号中的情况C5况C55。
22415P33＋C3整个式子为120－C55P2－C5P1＋C5＝120－60＋20－5＋1＝76(种)。
初三数学竞赛试题及答案
