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[A 基础达标]
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1．由一组样本数据(x1，y1)， (x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程y＝bx＋a，那么下面说法不正确的是( )
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A．直线y＝bx＋a必经过点(x，y)
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B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点
?xiyi－nx y
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C．直线y＝bx＋a的斜率为
i＝1
n
n
2
?xi2－nx
i＝1
n
^^^^^
D．直线y＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差?[yi－(bxi＋a)]2是该坐
i＝1
标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．
^^^^^
解析：选B.由a＝y－bx知y＝y－bx＋bx，所以必定过(x，y)点．回归直线方程对应的直线是与样本数据距离的平方和最小的直线，但不一定过原始数据点，只须和这些点很接近即可．
2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( )
A．都可以分析出两个变量的关系
B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C．都可以作出散点图
D．都可以用确定的表达式表示两者的关系
解析：选C.由两个变量的数据统计，不能分析出两个变量的关系，A错；不具有线性相关的两个变量不能用一条直线近似地表示他们的关系，更不能用确定的表达式表示他们的关系，B，D错．
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3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y＝a＋bx中，回归系数b( ) A．不能小于0 B．不能大于0 C．不能等于0 D．只能小于0
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解析：选C.当b＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但b能大于0，也能小于0. 4．(2015·高考湖北卷)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )
A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关 解析：选C.因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可^^^^^^^^
设z＝by＋a，b>0，则z＝by＋a＝－0.1bx＋b＋a，故x与z负相关．
5．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组
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样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
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B．若给变量x一个值，由回归直线方程y＝0.85x－85.71得到一个y，则y为该统计量中的估计值
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
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解析：选D.当x＝170时，y＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg，故D不正确．
^
6．已知一个回归直线方程为y＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，则y＝________.
1
解析：因为x＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，
5且回归直线过样本中心点(x，y)， 所以y＝1.5×9＋45＝58.5.
答案：58.5
7．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表，若已求得它们回归直线的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为________________．
x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 ^^^^^^
解析：设回归直线方程为y＝bx＋a，则b＝6.5，易知y＝50， x＝5，所以a＝y－bx^
＝50－32.5＝17.5，即回归直线方程为y＝6.5x＋17.5.
^
答案：y＝6.5x＋17.5
8．对某台机器购置后的运营年限x(x＝1,2,3，…)与当年利润y的统计分析知具备线性
^
相关关系，线性回归方程为y＝10.47－1.3x，估计该台机器使用________年最合算．
^
解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．
答案：8
9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 ^^^^^－^－(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y－bx； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
－1
解：(1)由于x＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
6
－1
y＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
6
^－^－
所以a＝y－bx＝80＋20×8.5＝250，
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^
从而回归直线方程为y＝－20x＋250. (2)设工厂获得的利润为L元，依题意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) ＝－20x2＋330x－1 000
33
x－?2＋361.25. ＝－20??4?
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
10．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得?xi＝80，?yi＝20，?xiyi＝184，?x2i＝720.
i＝1
i＝1
i＝1
i＝1
10
10
10
10
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(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a； (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
－－
?xiyi－nxy
^^^^
附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝
i＝1nn
^－^－－－
，a＝y－bx，其中x，y为样本平
2
?x2i－nx
i＝1
均值．
80－1n
解：(1)由题意知n＝10，x＝?xi＝＝8，
n10
i＝1
20－1n
y＝?yi＝＝2，
n10
i＝1
22
又?x2i－nx＝720－10×8＝80， i＝1n
－－
?xiyi－nxy＝184－10×8×2＝24，
ni＝1
^24^－^－
由此得b＝＝0.3，a＝y－bx＝2－0.3×8＝－0.4，
80
^
故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.
^
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
^
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． [B 能力提升]
1．已知x与y之间的几组数据如下表：
x y 1 0 2 2 3 1 4 3 5 3 6 4 精校版
人教版高中数学高一-A版必修3练习 2.3 变量间的相关关系(1-2课时)
