2012版数学一轮精品复习学案：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

2012版高三数学一轮精品复习学案：第一章集合与常用逻辑用语

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

【高考目标导航】

一、考纲点击 1、理解命题的概念；

2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系； 3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。 二、热点、难点提示

1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；

2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。

【考纲知识梳理】

1、命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、四种命题及其关系 （1）四种命题

命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 （2）四种命题间的相互关系

表述形式 若p，则q 若q，则p 若?p，则?q 若?q，则?p

（3）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；

注：否命题是命题的否定吗？答：不是。命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。

3、充分条件与必要条件

（1）“若p，则q”为真命题，记p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。

（2）如果既有p?q，又有q?p，记作p?q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件。

【要点名师透析】

一、命题的关系与真假的判断 1、相关

（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

（2）四种命题的关系的应用

掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。 2、例题解析

〖例1〗设原命题是“已知p、q、m、n是实数，若p=q，m=n，则p＋m=q＋n”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

解：逆命题：“已知p、q、m、n∈R，若p＋m=q＋n，则p=q，m=n(假)．

原命题：“已知p、q、m、n∈R，若p≠q，m≠n，则p＋m≠q＋n”(假)

逆否命题：“已知p、q、m、n∈R，若p＋m≠q＋n，则p≠q或m≠n”(真) 注，否命题“若p≠q，m≠n”应理解为“p≠q或m≠n”

即是指：①p≠q，但m=n，②p=q但m≠n，而不含p≠q且m≠n．因为原命题中的条

件：“若p=q，m=n．”应理解为“若p=q且m=n，”而这一语句的否定应该是“p≠q或m≠n”．

〖例2〗以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．

①接于圆的四边形的对角互补；

②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；

分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题． 解析：对①：原命题：“若四边形接于圆，则它的对角互补”； 逆命题：“若四边形对角互补，则它必接于某圆”； 否命题：“若四边形不接于圆，则它的对角不互补”； 逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不接于圆”．

对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论．所以：

逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”；

否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；

逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．

逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立”

说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．

二、充分条件与必要条件的判定 1、相关

（1）利用定义判断

①若p?q，则p是q的充分条件；

注：“p是q的充分条件”是指有p就有q，但无p也可能有q．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件．

②若q?p，则p是q的必要条件；

注：ⅰ “q是p的必要条件”是指有q才能有p，但有q未必有p．如，一个偶数未必能被6整除(q：为偶数，p：能被6整除)．

ⅱ

③若p?q且q?p，p是q的充要条件； ④

⑤p是q的必要而不充分条件．