线性回归方程——非线性方程转化为线性方程
例1．(2015·高考全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费????和年销售量????(??=1,2,?,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
??? ??? ??? 1.6 1469 108.8 46.6 563 6.8 1
289.8 表中????=√???? ，??? =8 ∑8??=1????，
，I）根据散点图判断，??=??+????与??=??+??√??，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
，II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为??=0.2????? ，根据（II）的结果回答下列问题： （i）年宣传费??=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费??为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(??1,??1) (??2,??2) ，…，(????,????) 其回归直线??=??+????的斜率和截距的最小二乘估计分别为：?=??
∑
??
(???????)(???????)
??=1??
∑??=1(???????)2
???. ，???=?????
【答案】(Ⅰ)??=??+??√??适宜作为年销售量??关于年宣传费??的回归方程类型；(Ⅱ)???=100.6+68√??；(Ⅲ)(i)答案见解析；(ii)46.24千元.
【解析】（I）由散点图可以判断，??=??+??√??适宜作为年销售量??关于年宣传费??的回归方程类型. ?=（II）令??=√??，先建立??关于??的线性回归方程，由于??
∑??=1(???????)(???????)
8
∑??=1(???????)28
=
108.81.6
=68，
???=563?68×6.8=100.6， ∴??关于??的线性回归方程为??∴???=??????=100.6+68??， 因此??关于??的回归方程为???=100.6+68√??.
（III）(ⅰ)由（II）知，当??=49时，年销售量??的预报值???=100.6+68√49=576.6， 年利润z的预报值为???=576.6×0.2?49=66.32.
，ⅱ）根据（II）的结果知，年利润z的预报值???=0.2(100.6+68√??)???=???+13.6√??+20.12， 所以当√??=
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13.62
=6.8，即??=46.24时，???取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.
例2．某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元。经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加??%，一般困难的学生中有3??%会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2??%转为一般困难，特别困难的学生中有??%转为很困难。现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份??取13时代表2013年， ??与??（万元）近似满足关系式??=??1?2??2??，其中??1,??2为常数。（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变）
?=1∑5其中????=log2????， ??5??=1
????
（Ⅰ）估计该市2018年人均可支配年收入；
（Ⅰ）求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？
附：对于一组具有线性相关关系的数据(??1,??1),(??2,??2),?,(????,????)，其回归直线方程 ??=????+?? 的斜率和截距?=的最小二乘估计分别为??
∑????=1
∑????=1
(????????)(????????)
,???2(????????)
???=???????.
【答案】（Ⅰ）2.8（万）;（Ⅱ）1624万.
【详解】（Ⅰ）因为???=(13+14+15+16+17)=15，所以∑5??=1
51
(????????)2=(?2)2+(?1)2+12+22=10.
由??=log2??得??=log2??1+??2??，所以??2=
??
∑5??=1
?)(????????)(???????
2∑5??=1(????????)
1
????2???=1.2?1×15=?0.3， =10 ， log2??1=??10
所以??1=2?0.3=0.8，所以??=0.8×210.当??=18时，2018年人均可支配年收入??=0.8×21.8=0.8×3.5=2.8（万） （Ⅱ）由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000×7%=14000人
一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人， 2018年人均可支配收入比2017年增长
0.8×21.8?0.8×21.7
0.8×21.7
=20.1?1=0.1=10%
所以2018年该市特别困难的中学生有2800×(1-10%)=2520人， 很困难的学生有4200×(1-20%)+2800×10%=3640人 一般困难的学生有7000×(1-30%)+4200×20%=5740人.
所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5740×1000+3640×1500+2520×2000=1624万.
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例3．近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表l所示： 表1
根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．
(1)根据散点图判断，在推广期内，??=??+????与??=???????(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)，
(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次； 参考数据：
其中????=1??????,??=∑7??=1????
71
???的斜率和截距的最小二乘估计公式分别参考公式：对于一组数据(??1,??1),(??2,??2),???,(????,????)，其回归直线???=???+??
???????????????
?=∑??=1???为：??,???=??????. ??
2
∑
??=1
2???????????
【答案】（1）??=???????，2，3470
【详解】（1）根据散点图判断，??=???????适宜作为扫码支付的人数??关于活动推出天数??的回归方程类型； （2）∵??=???????，两边同时取常用对数得：1????=1??(???????) =1????+1???????， 设1????=??, ∴??=1????+1???????
∵??=4,??=1.54, ∑??=1????2=140， ∴l?????=
7
∑7??=1?????????7????∑
7??=1
2?7??????
2
=
50.12?7×4×1.54140?7×42
=28=0.25，
7
把样本中心点(4,1.54)代入??=1????+1???????,得: l?????=0.54， ∴???=0.54+0.25??，∴l?????=0.54+0.25??，
∴??关于??的回归方程式：???=100.54+0.25??=100.54×(100.25)??=3.47×100.25，
把??=8代入上式，???=3.47×102=347， 活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470，
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??
(完整版)线性回归方程——非线性方程转化为线性方程
