第十三章 推理与证明
1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
2．了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．
3．了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点．
4．了解反证法的思考过程和特点． 5．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
§13.1 合情推理与演绎推理
1．两种基本的推理
推理一般包括____________和____________两类．
2．合情推理
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由__________到整体、由__________到一般的推理．
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由________到________的推理．
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已
有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行
__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
3．演绎推理
(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__________到__________的推理．
(2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”可以表示为： 大前提：M是P. 小前提：S是M. 结论：S是P.
自查自纠：
1．合情推理 演绎推理
2．(1)部分 个别 (2)特殊 特殊 (3)归纳 类比
3．(1)一般 特殊 (2)三段论
下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的性质；
②由等差数列的性质类比出等比数列的性质； ③由三角形的面积公式类比出三棱锥的体积公式；
④由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和为180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°.
A．仅①②是 B．仅①②③是 C．仅①②④是 D．①②③④都是
解：①②③是类比推理，④是归纳推理．它们都属于合情推理．故选D.
关于归纳推理，下列说法正确的是( )
A．归纳推理是由一般到一般的推理 B．归纳推理是由一般到特殊的推理 C．归纳推理的结论一定是正确的 D．归纳推理的结论不一定正确
解：归纳推理是由特殊到一般的推理，但结论未必正确．故选D.
“任何实数的平方大于0(大前提)，而a是实数(小前提)，所以a2>0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的
解：当a≠0时，a2>0；当a＝0时，a2＝0.所以这个推理的大前提错误．故选A.
＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．故填(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．
(2014·课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为____________．
解：由题意可判断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.故填A.
类型一 归纳推理
在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝想这个数列的通项公式．
(2013·陕西)观察下列等式：
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， ……
照此规律，第n个等式可为________________．
解：观察到等式左边依次是(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)，等式右边是2n与n个奇数的乘积，(n
2an
(n∈N＋)，试猜2＋an
2a1
解：当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝
2＋a1
4322a212
＝；当n＝3时，a3＝＝＝＝；当n＝432＋a22＋224
3
2a312
时，a4＝＝＝，由此猜想，这个数列的
2＋a32＋15
2
2
通项公式为an＝.
n＋1
点拨：
数列的通项公式表示的是数列{an}的第n项an
与序号n之间的对应关系，先根据已知的递推公式，算出数列的前几项，再通过观察，归纳得到关于数列通项公式的一个猜想，这种猜想是否正确还有待严格的证明．
1
(1) 已知x>0，由不等式x＋≥2
xxx43xx4＋＋≥3··＝3， 22x222x2
14
x·＝2，x＋2＝xx
27xxx274xxx27x＋3＝＋＋＋3≥4···＝4，
x333x333x3……
在x>0条件下，请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式_____________________．
解：当x＞0时，分析所给等式的变形过程可得 nxxxnx＋n＝?????n xn?n???nx???n个n
nn
＝n＋1.故填x＋n≥n＋1.
x
1 2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 8 12 16 20 20 28 36 48 64 112
(2)(2014·江苏模拟)给定正整数n(n≥2)按下图方式构成倒立三角形数表，第一行依次写上数1，2，3，…，n，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n行)只有一个数，例如n＝6时数表如图所示，则当n＝2 016时最后一行的数是________．
解：设最后一行(第n行)的一个数为an，则通过计算易得a1＝2·2－1，a2＝3＝3×20，a3＝8＝4×21，a4＝20＝5×22，a5＝48＝6×23，a6＝112＝7×24，…，由此，可猜测：an＝(n＋1)×2n－2，所以当n＝2 016时最后一行的数a2016＝2 017×22 014.故填2 017×22 014.
n类型二 类比推理
111
在Rt△ABE中，有2＝2＋2.①
AHABAE
11
又易证CD⊥AE，∴在Rt△ACD中，2＝2＋
AEAC1
.② AD2
1111
将②式代入①式得2＝2＋2＋2.
AHABACAD
点拨：
本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论．一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下：
平面 点 线 圆 三角形 角 面积 周长 … 空间 线 面 球 三棱锥 二面角 体积 表面积 … 1
在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D，则2
AD
11
＝2＋2.在四面体A-BCD中，若AB，AC，AD
ABAC
两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则类似的结论是什么？并说明理由．
解：如图，
x2
(2014·衡水中学调研)椭圆中有如下结论：椭圆2
a
y2xy＋2＝1(a>b>0)上斜率为1的弦的中点在直线2＋2
bab
22xy
＝0上，类比上述结论：双曲线2－2＝1(a>0，b>0)
ab
上斜率为1的弦的中点在直线____________上．
x2y2
解：将椭圆方程2＋2＝1中的x2变为x，y2变
ab
x2y2
为y，右边变为0，得到椭圆2＋2＝1上斜率为1
ab
xy的弦的中点在直线＋＝0上．类比上述结论，将在四面体A-BCD中，若AB，AC，AD两两垂a2b2
111x2y2
直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则2＝2＋2双曲线的方程作上述变换可知：双曲线2－2＝1上AHABACab
1xy＋2. 斜率为1的弦的中点在直线－＝0上．证明如下：ADa2b2
证明如下：连接BH并延长交CD于E，连接AE.
∵AB，AC，AD两两垂直，∴AB⊥平面ACD. 又∵AE?平面ACD，∴AB⊥AE.
不妨设弦的两个端点为(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1≠y2－y1x1＋x2
x2，则＝1，弦中点设为(x0，y0)，则x0＝，
2x2－x1y1＋y2
y0＝，将上述两端点代入双曲线方程得
2
【核按钮】2016高考(新课标)数学(理)一轮复习+课时检测+单元检测)：第十三章 推理与证明(3课时)
