二○○一年全国高中数学联合竞赛
试题参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设 6 分和 0 分两档，填空题只设 9
分和 0 分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再 增加其他中间档次．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参 照本评分标准适当划分档次评分，可以 5 分为一个档次，不要再增加其它中间档次．
一、选择题（本题满分 36分，每小题 6 分）
本题共有 6 小题，每题均给出（ A）、（ B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个 是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得 6 分；不选、选 错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分． 1．已知 a为给定的实数，那么集合 M={ x| x-3x-2
a+2=0，x∈R}的子集的个数为
（A） 1
2
2
（ B） 2
2
（ C） 4 （ D） 不确定
【答】（ C ）
2
【解】 方程 x-3 x- a+2=0 的根的判别式Δ =1+4a>0，方程有两个不相等的实数 根．由 M有 2个元素，得集合 M有 2=4个子集． 2． 命题 1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点 ;
命题 2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点 ; 命题 3 长方体中，必存在到各面距离相等的点 . 以上三个命题中正确的有 （A） 0 个
（B） 1 个
（ C） 2 个 （D） 3 个
【答】（ B ）
【解】 只有命题 1 对．
3．在四个函数 y=sin| x| ，y=cos| x| ，y=|ctg x| ，y=lg|sin x| 中以 为周期、 在 （0， ）
2
2
上单调递增的偶函数是
（ A） y=sin| x| （ B）y =cos| x| （C）y=|ctg x| （ D） y=lg|sin
x|
【答】（ D ）
【解】 y=sin| x| 不是周期函数． y=cos| x|=cos x 以 2 为周期． y=|ctg x| 在（ 0，
）上单调递减．只有 y=lg|sin x| 满足全部条件． 4．如果满足∠ ABC=60°， AC=12， BC=k的△ ABC那么 k 的取值范围是 2 恰有一个， （D） 0< k≤ 12 或 B) C) k≥ 0 【解】 根据题设，△ ABC 共有两类如图． 易得 k=或 0 值法， 5．若 210002 则的展开式为 012 0 3 6 9 1998 的值为 3999 3333 A） C 666 B） 3） 【答】（ D ） 8 3 (1 x x ） aaaa a ax ax 排除（ A）、（ B）、 （C）． a2000 2000 x ， 2001 D) a 3 答】（ C ） a令 x=1可得 aaa解】 1 2 3 2000 ； 10003 2000 =0a a；3 令 可得 0=02000 a 2 1 a 2 x= 3213 2 2i ，则 =1且 其+ +1=0) 中 24 4000 2aa2 令 3 2000 aa 可得 0=0 1 以上三式相x= a 6 所以 a9 0 1998 )1000 加可得 3=3（ a0 a3 ． 3 6 9 1998 =． 3a a a a aaa a a 3 24 元，而 4 枝玫 之和大于 瑰与 之和小于 22元，则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格 比较结果是 A）2 枝玫瑰价格高 （B）3 枝康乃馨价C）价格相 格高 同 解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为 x、 y元 /枝． 则 6x+3y>24,4 x+5y<22. 令 6x+3y=a>24,4x+5y=b<22, 解 1 6．已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格 5 枝康乃馨的 价格 D）不确 定 A ） 答】（ 1 出 x= 3b),y=91(3b 2a). (5a 18
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