2019年
寒假作业(三) 基本初等函数、函数与方程(注意速度和准度)
一、“12＋4”提速练
1．(2018届高三·吉林实验中学摸底)若f(x)是幂函数，且满足1
A. 2C．2
αf9?1?＝2，则f??＝( ) f3?9?
1
B. 4D．4
αf991?1??1?α解析：选B 设f(x)＝x，由＝α＝3＝2，得α＝log32，∴f??＝??log32＝.
f334?9??9?
2．已知函数f(x)＝x＋x＋c，若f(0)＞0，f(p)＜0，则必有( ) A．f(p＋1)＞0 C．f(p＋1)＝0
B．f(p＋1)＜0
D．f(p＋1)的符号不能确定
2
1
解析：选A 由题意知，f(0)＝c＞0，函数图象的对称轴为x＝－，则f(－1)＝f(0)＞0，
2设f(x)＝0的两根分别为x1，x2(x1＜x2)， 则－1＜x1＜x2＜0，根据图象知，x1＜p＜x2， 故p＋1＞0，f(p＋1)＞0.
?1?x3．已知函数f(x)＝??－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
?2?
A．1 C．3
B．2 D．4
?1?x解析：选C 作出函数g(x)＝??与h(x)＝cos x的图象(图略)，可知函数g(x)与h(x)在[0,2π]上的交点
?2?
个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3.
7?7?1?9?1
4．已知a＝??－，b＝??，c＝log2，则a，b，c的大小关系是( )
9?9?4?7?5A．b B．c ?7?1?9?1?9?1 解析：选C ∵a＝??－＝??>??＝b， ?9?4?7?4?7?5 7?9?1 而b＝??>1，c＝log2 9?7?5 5．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间为( ) A．[1,2] C．[3,4] B．[2,3] D．[4,5] 解析：选B ∵函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0， f(3)＝ln 3>0，f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点位于区间[2,3]内． 2019年 6.(2017·潍坊模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象＝loga(x－b)的图象大致是( ) 如图所示，则函数g(x) 解析：选B 法一：结合二次函数的图象可知，a>1，－1 法二：结合二次函数的图象可知，a>1，－1 g(0)＝loga(－b)<0，只有选项B符合，故选B. ??f7.已知奇函数y＝? ?g? xx，x＞0，x，x＜0. ( ) 若f(x)＝a(a＞0，a≠1)对应的图象如图所示，则g(x)＝ ?1?－xA.?? ?2? C．2 －x?1?x B．－?? ?2? D．－2 x11 解析：选D 由图象可知，当x＞0时，函数f(x)单调递减，则0＜a＜1，∵f(1)＝，∴a＝，即函数f(x) 22 ?1?x?1?－x?1?－xxx＝??，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝??＝－g(x)，即g(x)＝－??＝－2，故g(x)＝－2，x＜0. ?2??2??2? ??x＋2x，x≤0，8．已知函数f(x)＝? ?|lg x|，x>0，? 2 则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为( ) A．1 C．3 解析：选C g(x)＝f(1－x)－1 B．2 D．4 ??1－x＋21－x－1，1－x≤0， ＝???|lg1－x|－1，1－x>0?x－4x＋2，x≥1，?＝???|lg1－x|－1，x<1. 2 2 易知当x≥1时，函数g(x)有1个零点，当x<1时，函数有两个零点，所以函数g(x)的零点共有3个． ?1?x9．已知函数f(x)＝??＋a的图象经过第二、三、四象限，g(a)＝f(a)－f(a＋1)，则g(a)的取值范围为( ) ?3? A．(2，＋∞) C．(－1,2) B．(－∞，－1) D．(－∞，2) 2019年 ?1?x?1?a解析：选A ∵函数f(x)＝??＋a的图象经过第二、三、四象限，∴a<－1.则g(a)＝f(a)－f(a＋1)＝?? ?3??3? 2?1?a?1?a＋1?1?a?1?2?1?a?1?a＋a－??－a＝???1－?＝·??.∵a<－1，∴??>3，则·??>2，故g(a)的取值范围是(2，＋∞)． 3?3??3??3??3?3?3??3? 10．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0)(x1≠x2)，都有结论正确的是( ) A．f(0.3) 解析：选A ∵对任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有 2 0.3 2 0.3 0.3 2 2 0.3 fx1－fx2 <0.则下列 x1－x2 fx1－fx2 <0，∴f(x)在(－∞，0)上是 x1－x2 2 0.3 减函数．又∵f(x)是R上的偶函数，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.3<2 f(0.32) 11．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在[0,2]上为增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为( ) A．8 C．0 B．－8 D．－4 解析：选B ∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)， ∴函数f(x)是以8为周期的周期函数， 又由f(x－4)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋6)＝－f(x－2)，因为f(x)是奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于x＝2对称，结合在[0,2]上为增函数，可得函数的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8. 12．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β＝{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝e数”，则实数a的取值范围是( ) A．[2,4] x－1 2 ＋x－2与g(x)＝x－ax－a＋3互为“零点相邻函 ?7?B.?2，? ?3? D．[2,3] x－1 ?7?C.?，3? ?3? 解析：选D 函数f(x)＝e ＋x－2的零点为x＝1，设g(x)＝x－ax－a＋3的零点为b，若函数f(x)＝e 2x－1 2019年 ＋x－2与g(x)＝x－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b|≤1，∴0≤b≤2.由于g(x)＝x－ax－a＋3必 22 g0≥0，?? 经过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则??a? g??≤0，???2? 2≤a≤3. 13．(2017·陕西质检)已知函数y＝4ax－9 －a＋3≥0，?? 即??a?2a－a·－a＋3≤0，???2??2? 解得 －1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则logmn＝________. 解析：依题意知，当x－9＝0，即x＝9时，y＝4－1＝3，故定点为A(9,3)，所以m＝9，n＝3，故logmn＝1 log93＝. 2 1答案： 2 ?1?|x| 14．若函数y＝??－m有两个零点，则m的取值范围是________． ?2??1?|x| 解析：在同一平面直角坐标系内，画出y＝??和y＝m的图象， ?2? 有两个零点，故0 答案：(0,1) ??a15．对于实数a和b，定义运算a*b＝? ?b???a解析：∵a*b＝? ?b? 如图所示，由于函数 b＋1，a≥ba＋1，a 12?1?，则ln e*??－＝________. ?9?2 b＋1，a≥b，a＋1，a ?1?12 ln e＝2 ?9?2 121 ∴ln e]－＝3×(2＋1)＝9. 92答案：9 1f1 16．(2018届高三·河北衡水中学月考)已知函数f1(x)＝|x－1|，f2(x)＝x＋1，g(x)＝ 3|f1 x＋f2x2 ＋ x－f2x| 2 ，若a，b∈[－1,5]，且当x1，x2∈[a，b]时， gx1－gx2 ＞0恒成立，则b－a的最大 x1－x2 值为________． 解析：当f1(x)≥f2(x)时，g(x)＝当f1(x)＜f2(x)时，g(x)＝ ??f1 综上，g(x)＝? ??f2 f1x＋f2x22 ＋ ＋ f1x－f2x22 ＝f1(x)； f1x＋f2xf2x－f1x＝f2(x)． x，f1x≥f2x，x，f1x＜f2x， 即g(x)是f1(x)，f2(x)两者中的较大者．在同一平面直角坐 标系中分别画出函数f1(x)与f2(x)的图象， 2019年 如图所示，则g(x)的图象如图中实线部分所示．由图可知g(x)在[0，＋∞)上单调递增，又g(x)在[a，b]上单调递增，故a，b∈[0,5]，所以b－a的最大值为5. 答案：5 二、能力拔高练 548x1．若函数y＝a－a(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋loga＝( ) 65A．1 C．3 B．2 D．4 x解析：选C ∵当a>1时，函数y＝a－a在[0,1]上单调递减，∴a－1＝1且a－a＝0，解得a＝2；当548x0 ?548?＝log2?×?＝log28＝3. ?65? 2．已知函数f(x)＝4－m·2＋1只有一个零点，则m＝( ) A．1 C．2 xxx B．－1 D．－2 xx2 2 解析：选C 依题意，方程4－m·2＋1＝0只有一个实数根，设t＝2(t>0)，则t－mt＋1＝0，由Δ＝mxx－4＝0，解得m＝±2，当m＝2时，t＝1，即2＝1，则x＝0；当m＝－2时，t＝－1，即2＝－1(舍去)．故函数只有一个零点时，m＝2. 3．(2017·云南一检)已知a，b，c，d都是常数，且a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c， d，则下列不等式正确的是( ) A．a>c>b>d C．c>d>a>b B．a>b>c>d D．c>a>b>d 2 解析：选D f(x)＝2 017－(x－a)·(x－b)＝－x＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝角坐标系中作出函 f(b)＝2 017，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d，所以可在平面直 数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D. 4．(2017·成都二诊)已知函数f(x)＝a(a>0且a≠1)的反函数的图象经过点? x?21? ，?.若函数g(x)的定义域?22? 为R，当x∈[－2,2]时，有g(x)＝f(x)，且函数g(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( ) A．g(π) B．g(2) 2019年 解析：选B 因为函数f(x)的反函数的图象经过点?＝ 12??21??1，?，所以函数f(x)的图象经过点?，?，所以a2?22??22?21?1?x?a＝.函数f(x)＝??在R上单调递减．函数g(x＋2)为偶函数，所以函数g(x)的图象关于直线x＝2对22?2? 称，又x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)且f(x)单调递减，所以x∈[2,6]时，g(x)单调递增，根据对称性，可知距离对称轴x＝2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g(2) 5．设函数f(x)，g(x)的定义域分别为M，N，且MN.若对任意的x∈M，都有g(x)＝f(x)，则称g(x)是f(x)1的“拓展函数”．已知f(x)＝log2x，若g(x)是f(x)的“拓展函数”，且g(x)为偶函数，则符合条件的函数g(x) 3的一个解析式是________． 11 解析：由题意可知， 当x>0时，g(x)＝log2x，又函数g(x)是偶函数，故当x<0时，g(x)＝log2(－x)， 331 所以g(x)＝log2|x|(x≠0)． 3 1 答案：g(x)＝log2|x|(x≠0)(其他符合条件的函数也可以) 3 ??x＋2，x>a， 6．(2017·云南玉溪统考)已知函数f(x)＝?2 ??x＋5x＋2，x≤a， 函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零 点，则实数a的取值范围是________． ??2－x，x>a， 解析：由题意知g(x)＝?2 ?x＋3x＋2，x≤a，? 2 因为g(x)有三个不同的零点，所以2－x＝0在x>a时有一个 解，由x＝2得a<2；由x＋3x＋2＝0得x＝－1或x＝－2，则由x≤a得a≥－1.综上，a的取值范围为[－1,2)． 答案：[－1,2)
2020高考数学二轮复习寒假作业三基本初等函数函数与方程注意速度和准度理
