第 7章 线性变换
7.1知识点归纳与要点解析
一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义
数域P上的线性空间V的一个变换?称为线性变换，如果对V中任意的元素?,?和数域P中的任意数k，都有：????????????????，??k???k????。 注：V的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别
设?为数域P上线性空间V的一个变换，那么：
?为V的线性变换???k??l???k?????l????,??,??V,?k,l?P 3.线性变换的性质
设V是数域P上的线性空间，?为V的线性变换，??1,?2,性质1. ??0??0,???????; 性质2. 若?1,?2,,?s,??V。
,?s线性相关，那么???1?,???2?,,???s?也线性相关。
,???s?
性质3. 设线性变换?为单射，如果?1,?2,也线性无关。
注：设V是数域P上的线性空间，?1,?2,如果：
,?s线性无关，那么???1?,???2?,,?m，?1,?2,,?s是V中的两个向量组，
?1?c11?1?c12?2??c1s?s?2?c21?1?c22?2??c2s?s?m?cm1?1?cm2?2?记：
?cms?s??1,?2,,?m????1,?2,?c11c21?cc,?s??1222???c1sc2scm1??cm2? ??cms?,?m是
于是，若dim?V??n，?1,?2,,?n是V的一组基，?是V的线性变换， ?1,?2,V中任意一组向量，如果：
???1??b11?1?b12?2????2??b21?1?b22?2????m??bm1?1?bm2?2? 记：
?b1n?n?b2n?n?bmn?n
???1,?2,,?m??????1?,???2????m??
那么：
???1,?2,,?m????1,?2,?b11b21?b12b22?,?n????b1nb2ncm1??cm2? ??cmn??b11b21?b12b22设B?????b1nb2ncm1??cm2?，?1,?2,??cmn?,?m是矩阵B的列向量组，如果?i1,?i2,,?ir是
?1,?2,,?m的一个极大线性无关组，那么??i1,??i2???????ir?就是
???1?,???2????m?的一个极大线性无关组，因此向量组???1?,???2????m?的
秩等于秩?B?。
4. 线性变换举例
（1）设V是数域P上的任一线性空间。
零变换： 0????0,???V； 恒等变换：??????,???V。
幂零线性变换：设?是数域P上的线性空间V的线性变换，如果存在正整数m，使
得?m?0，就称?为幂零变换。
2 幂等变换：设?是数域P上的线性空间V的线性变换，如果???，就称?为幂等
变换。
（2）V?P,任意取定数域P上的一个n级方阵A ，令：
n?x1??x1??x1???????xxx2????A?2?,??2??Pn。 ????????????x?n??xn??xn?（3）V?P?x?，Df?x??f??x?,?f?x??P?x?。 （4）V?Pn?n??，A?aij是V中一固定矩阵，??X??AX,?X?Pn?n。
??二．线性变换的运算、矩阵 1. 加法、乘法、数量乘法
（1） 定义： 设V是数域P上的线性空间，?,?是V的两个线性变换，定义它们的和
???、乘积??分别为：对任意的??V
??????????????????，?????????任取k?P，定义数量乘积k?为：对任意的??V
??????
?k??????k????
?的负变换-?为：对任意的??V
?-?????=-????
则???、??、k?与-?都是V的线性变换。
（2）L?V?={?性空间。
?为V的线性变换}，按线性变换的加法和数乘运算做成数域P上的维线
2. 线性变换的矩阵
（1）定义：设V是数域P上的n维线性空间，?是V的线性变换，?1,?2,一组基，如果：
,?n是V的
???1??a11?1?a12?2????2??a21?1?a22?2????n??an1?1?an2?2??a11?a12?那么称矩阵A????a1n此时：???1,?2,?a1n?n?a2n?n?ann?n
a21a22a2nan1??an2?为线性变换?在基?1,?2,??ann?,?n下的矩阵。
,?n??????1?,???2????n?????1,?2,,?n?A
（2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：
设?1,?2,,?n是数域P上的n维线性空间V的一组基，??,??L?V?，设
,?n下的矩阵分别为A,B。
它们在?1,?2,1）f:L?V??Pn?n，?A 是数域P上的线性空间L?V?到数域P上的线性空
间Pn?n的同构映射，因此L?V??Pn?n。
2）?可逆?A可逆
3）①???、??与-?在基?1,?2,② 任取k?P，k?在基?1,?2,③ 若?为可逆线性变换，则?④ 设f?x??amx?am?1xmm?1?1,?n下的矩阵分别为A?B,AB与?A； ,?n下的矩阵为kA；
在基?1,?2,,?n下的矩阵为A?1；
??a1x?a0为数域P上的任一多项式，那么?a1??a0?（?为V的恒等变换）在基
?a1A?a0En。
f????am?m?am?1?m?1??1,?2,,?n下的矩阵为：f?A??amAm?am?1Am?1?三．特征值、特征向量与对角矩阵
1. 矩阵的特征值与特征向量
（1）矩阵的特征多项式：设A为n级复方阵，将多项式fA????多项式。
注： 1）若A?aij?En?A称为A的特征
??nn，则：
fA?????En?A??n???1??a11?a22???n???1?tr?A??n?1?2) 将?En?A称为矩阵A的特征矩阵，
?ann??n?1?n???1?A
n???1?A
?En?A?0称为矩阵A的特征方程。
（2） 定义：n级方阵A的特征多项式fA?????En?A在复数域上的所有根都叫做其特
征值（根），设?0?C是A的特征值，齐次线性方程组??En?A?X?0的每个非零解都叫做矩阵A的属于其特征值?0的特征向量。
（3）求法：
1）求fA????； ?En?A在复数域上的所有根?1,?2,,?n（重根按重数计算）
2）对?k?k?1,n?解齐次线性方程组??kEn?A?X?0，得其一个基础解系
?k1,?k2,,?k,lk（lk?n?秩??kEn?A?），则矩阵A的属于特征值?k的全部特
征向量为sk1?k1?sk2?k2?数（复数）。
（4） 重要结论：
?sk,lk?k,lk，其中sk1,sk2,,sk,lk为不全为零的任意常
1）设?0?C是A的特征值，X0是A的属于其特征值?0的特征向量，g?x?为一复系数多项式。
① g??0?为g?A?的特征值，X0为g?A?的属于特征值g??0?的特征向量； ② 如果A还是可逆矩阵，那么
1?0与
A?0?
分别为A?1和A?的特征值，X0为A?1的属
于特征值
1?0的特征向量，X0为A的属于特征值
A?0的特征向量，
③ 若?1,?2,,?n是矩阵A的全部特征值，那么g??1?,g??2?,,g??n?就是g?A??1的全部特征值，如果A还是可逆矩阵，则
?1?211,,,1?n为A的全部特征值，
?1?2AA,,,A?n为A的全部特征值；
?
2）若?1,?2,,?n是矩阵A的全部特征值，那么tr?A???1??2???n，
A??1?2?n。
2. 线性变换的特征值与特征向量
（1）定义：设?是数域P上的线性空间V的线性变换，?0?P，若存在0???V，使得
??????0?，就称?0为?的一个特征值，?为?的一个属于特征值?0的特征向量。（2）线性变换的特征多项式
设?是数域P上的n维线性空间V的线性变换，任取V的一组基?1,?2,在该基下的矩阵为A，称矩阵为A的特征多项式
,?n，设?
?En?A为?的特征多项式，记为
第七章线性变换总结篇(高等代数)
