数学建模练习试题
2011年数学建模集训小题目
1.求下列积分的数值解
??3?dxx?x?3x?2t?h22
102.已知f(t,h)?ecost?(h)?(t?h)2sint?(h)，g(h)??f(t,h)dt，画出
0h?[?10,10]时，g(h)的图形。
223.画出x?(y?5)?16绕x轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。
4.画出下列曲面的图形
x2?y2z2??1； （1）旋转单叶双曲面
94（2）马鞍面z?xy；
5.画出隐函数sinx?cosy?1的图形。
x?26.（1）求函数y?ln的三阶导数；
1?x法一：syms x y dy; >> y=log((x+2)/(1-x)); >> dy=diff(y,3) dy =
(6/(1-x)^3+6*(x+2)/(1-x)^4)/(x+2)*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)^2*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^3*(1-x)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^2
（2）求向量a?[00.524]的一阶向前差分。 7.求解非线性方程组
2??x?y?6?0（1）?
2??y?x?6?0?ex?siny?cosy?10（2）?
?tanx?10lny?5328.求函数f(x)?x?6x?8x?1的极值点，并画出函数的图形。
9.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m和1m的圆钢各一根。已知原料长6.9m，问应如何下料，使用的原材料最省。 10. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：
项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％； 项目B，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超过4万元；
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项目C，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140％，但规定最大投资额不超过3万元；
项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6％。
该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大？
11.已知某工厂计划生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种产品，各种产品需要在A，B，C三种设备上加工生产，具体相关数据如表1。试研究下列问题。
（1）如何充分发挥已有设备的能力，使生产盈利最大？ （2）如果为了增加产量，可租用其他厂家设备B，每月可租用60台时，租金为1.8万元，试问租用设备B是否合算？
（3）如果该工厂拟增加生产两种新产品Ⅳ和Ⅴ，其中产品Ⅳ需用A设备12台时，B设备5台时，C设备10台时，单位产品盈利21000元；产品Ⅴ需用A设备4台时，B设备4台时，C设备12台时，单位产品盈利1870元。假如A，B，C三种设备台时不增加，试分别考虑这两种新产品的投产在经济上是否合算？
A B C 单位产品利润/元 Ⅰ 8 10 2 3000 表1 生产计划的相关数据 Ⅱ Ⅲ 2 10 5 8 13 10 2000 2900 设备有效台时/每月 300 400 420 12.某市政府拟投入一笔资金和一定数量的劳动力建设两类公益项目A和B，目的是方便市民的生活，提高城市的生活质量。根据预测投入1万元资金和1百个劳动力·h（即每个劳动力用1h）,分别可以建成1个项目A和两个项目B。如果投入1个劳动力·h需要支付10元，市政府为了用有限的资金和劳动力，并用最快的时间建成这批项目，服务于社会，服务于人民。市政府依次提出下面的四条要求。
（1）至少要建50个项目A； （2）至多建设60个项目B；
（3）至少要利用80万元资金和10000个劳动力·h； （4）总投入资金不超过预算120万元。
试为该市政府制定一个满意的项目建设方案。 13.求微分方程组初值问题
?dx?dt?rx?axy??dy ???sy?bxy?dt?x(0)?x0,y(0)?y0??式中，r?2，s?1，a?1，b?2。
选用ode45函数计算，其相对误差限为10，绝对误差限为10，分别画出初值条件为[x0,y0]?[1,0.3]，[1,0.5]，[1,0.7]，[1,0.9]，[1,1.1]解的相平面轨迹图。 14．求两个圆x?y?100，(x?3)?(y?4)?100所围公共部分的面积。 15.已知平面区域0?x?5600，0?y?4800的高程数据见表3（单位：m）。
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2222?5?6数学建模练习试题
表3 4800 4400 4000 3600 3200 2800 2400 2000 1600 1200 800 400 0 1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 150 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 210 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 350 1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 500 1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 1550 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 1200 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 1100 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 936 950 830 980 1180 1320 1450 1420 400 1300 700 900 850 810 380 780 750 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 350 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320 370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600 Y/X 试用二维插值求x,y方向间隔都为10的高程，画出该区域的等高线和三维视图，并求该区域的表面积。
?145??x1?????T16. 已知矩阵A?426，x?x2，求二次型f(x1,x2,x3)?xAx在单位球面
???????563???x3??22x12?x2?x3?1上的最小值。
17. 求解线性规划问题
max Z1?20x1?90x2?80x3?70x4?30x5
?x1?x2?x5?30?x?x?3034??s.t. ?3x1?2x3?120
?3x?2x?x?4845?2??xi?0, i?1,?,5100018．求解数学规划问题
maxs.t.??xi?1i
?Ax?1500?1
?x?0其中A?(aij)500?1000，这里aij是服从均值为5，标准差为2的正态分布的随机数；1500?1表示500个元素全部为1的列向量。
19. 根据表4某猪场24头育肥猪4个胴体性状的数据资料，试进行瘦肉量y对眼肌面积（x1）、腿肉量(x2)、腰肉量(x3)的多元回归分析。
表4 某养猪场数据资料 序 号 1 瘦肉量 y(kg) 15.02 眼肌面积 2x1(cm) 23.73 腿肉量 x2(kg) 5.49 腰肉量 x3(kg) 1.21 序号 14 瘦肉量y(kg) 15.94 眼肌面积2x1(cm) 23.52 腿肉量x2(kg) 5.18 腰肉量x3(kg) 1.98 3 / 4
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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.62 14.86 13.98 15.91 12.47 15.80 14.32 13.76 15.18 14.20 17.07 15.40 22.34 28.84 27.67 20.83 22.27 27.57 28.01 24.79 28.96 25.77 23.17 28.57 4.32 5.04 4.72 5.35 4.27 5.25 4.62 4.42 5.30 4.87 5.80 5.22 1.35 1.92 1.49 1.56 1.50 1.85 1.51 1.46 1.66 1.64 1.90 1.66 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14.33 15.11 13.81 15.58 15.85 15.28 16.40 15.02 15.73 14.75 21.86 28.95 24.53 27.65 27.29 29.07 32.47 29.65 22.11 22.43 4.86 5.18 4.88 5.02 5.55 5.26 5.18 5.08 4.90 4.65 1.59 1.37 1.39 1.66 1.70 1.82 1.75 1.70 1.81 1.82 要求
（1）求y关于x1,x2,x3的线性回归方程
y?c0?c1x1?c2x2?c3x3，
计算c0,c1,c2,c3的估计值；
（2）对上述回归模型和回归系数进行检验（要写出相关的统计量）；
（3）试建立y关于x1,x2,x3的二项式回归模型，并根据适当统计量指标选择一个较好的模型。
（4）利用表4的数据分别利用Matlab的命令lsqcurvefit和nlinfit拟合非线性函数
y?a1sinx1?a2ea3x1cosx3?tan(a4x2)
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