专题4.9：平面向量基本定理的研究与拓展
【探究拓展】
探究1：如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 . 变式1：已知︱OA︱=1，︱OB︱=
3,OA?OB=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设
OC=mOA+nOB(m、n∈R)，则
m等于_________. n变式2：如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若
AD?xAB?yAC，则x? ，y?____________
探究2：如图1，OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线
B 围成的阴影区域内（不含边界）.且OP?xOA?yOB，则实数对（x,y）可以是
1322A．(,) B. (?,)
44331317 C. (?,) D. (?,)
4455M O A
图1 变式：如图2, OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP?xOA?yOB,则x的取值范围是 ;当x??
P M B 1时,y的取值范围是 . 2
O 图2 A 探究3：如图，在□ABCD中，已知AB?a，AD?b，M为边CD的中点，P，Q分别是边AB，CD上的动点．
（1）用a，b表示向量AM与BD； （2）若PQ?xAM?yBD，求x ? y的值．
1
D Q M C
A （第16题）
P B 1解：（1）AM?AD?DM?b?a， BD?AD?AB?b?a．
2
（2）设AP?mAB，DQ?nDC， 则PQ?PA?AD?DQ??ma?b?na?(n?m)a?b．
11 又PQ?xAM?yBD?x(b?a)?y(b?a)?(x?y)a+(x?y)b．
22 由分解的惟一性定理，得x ? y = 1． 变式：正三角形?ABC的边长为15，AP?（1）求证：四边形APQB为梯形； （2）求梯形APQB的面积. 解：（1）略；
（2）向量线性分解：得h?33,S?423
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
1212AB?AC,BQ?AB?AC, 3555
2
专题4.9：平面向量基本定理的研究与拓展
