专题4.9:平面向量基本定理的研究与拓展
【探究拓展】
探究1:如图,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 . 变式1:已知︱OA︱=1,︱OB︱=
3,OA?OB=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设
OC=mOA+nOB(m、n∈R),则
m等于_________. n变式2:如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若
AD?xAB?yAC,则x? ,y?____________
探究2:如图1,OM∥AB,点P由射线OM、线段OB及AB的延长线
B 围成的阴影区域内(不含边界).且OP?xOA?yOB,则实数对(x,y)可以是
1322A.(,) B. (?,)
44331317 C. (?,) D. (?,)
4455M O A
图1 变式:如图2, OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP?xOA?yOB,则x的取值范围是 ;当x??
P M B 1时,y的取值范围是 . 2
O 图2 A 探究3:如图,在□ABCD中,已知AB?a,AD?b,M为边CD的中点,P,Q分别是边AB,CD上的动点.
(1)用a,b表示向量AM与BD; (2)若PQ?xAM?yBD,求x ? y的值.
1
D Q M C
A (第16题)
P B 1解:(1)AM?AD?DM?b?a, BD?AD?AB?b?a.
2
(2)设AP?mAB,DQ?nDC, 则PQ?PA?AD?DQ??ma?b?na?(n?m)a?b.
11 又PQ?xAM?yBD?x(b?a)?y(b?a)?(x?y)a+(x?y)b.
22 由分解的惟一性定理,得x ? y = 1. 变式:正三角形?ABC的边长为15,AP?(1)求证:四边形APQB为梯形; (2)求梯形APQB的面积. 解:(1)略;
(2)向量线性分解:得h?33,S?423
【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?
1212AB?AC,BQ?AB?AC, 3555
2
专题4.9:平面向量基本定理的研究与拓展
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