九年级几何模型压轴题单元测试题（Word版 含解析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．如图，在矩形ABCD中，AB?6cm，AD?8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A?B?D?（B′与B重合），且点D?刚好落在BC的延长上，A?D?与
CD相交于点E．
（1）求矩形ABCD与△A?B?D?重叠部分（如图1中阴影部分A?B?CE）的面积； （2）将△A?B?D?以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A?B?D?重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA?B?成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．
16?323?x?x?24(0?x?)??245225cm；（2）y??【答案】（1）；（3）存在，使得
880200162?x2?x?(?x?4)?335?3△AA?B?成为等腰三角形的x的值有：0秒、
【解析】 【分析】
366?9秒、． 25（1）先用勾股定理求出BD的长，再根据旋转的性质得出B?D??BD?10cm，
CD??B?D??BC?2cm，利用?B?D?A?的正切值求出CE的值，利用三角形的面积差即
可求阴影部分的面积；
1616?x?4时，分别列出函数表达式； （2）分类讨论，当0?x?时和当
55（3）分类讨论，当AB??A?B?时；当AA??A?B?时；当AB??AA?时，根据勾股定理列方程即可． 【详解】
解：（1）AB?6cm，AD?8cm， ?BD?10cm，
根据旋转的性质可知B?D??BD?10cm，CD??B?D??BC?2cm，
A?B?CEtan?B?D?A???，
???ADCD
6CE??， 823?CE?cm，
2?SA?B?CE?SA?B?D??SCED??（2）①当0?x?8?6345?2??2??cm2?； 222163时，CD??2x?2，CE?x， 52?S△CD?E?323x+x， 221333?y??6?8?x2??x2?x?24；
2222②当
164?x?4时，BC?10?2x，CE??10?2x? 53148802002?y???10?2x??x2?x?．
23333（3）①如图1，当AB??A?B?时，x?0秒；
②如图2，当AA??A?B?时，A?N?BM?BB??B?M?2x?1824，A?M?NB?， 55AN2?A?N2?36，
24??18????6????2x???36，
5??5??解得：x?2266?9?66?9秒，（x?舍去）； 55③如图2，当AB??AA?时，A?N?BM?BB??B?M?2x?1824，A?M?NB?， 55AB2?BB?2?AN2?A?N2
24??18???36?4x??6????2x??
5??5??222解得：x?3秒． 2综上所述：使得△AA?B?成为等腰三角形的x的值有：0秒、
366?9秒、． 25
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．
2．我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC； ②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为 ． 猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=23，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）①
11；②4；（2）AD=BC，证明见解析；（3）存在，证明见解析，2239．
【解析】 【分析】
（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=
1AB′即可解决问题； 2②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；
1BC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证2明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；
（2）结论：AD=
（3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°，即可； 【详解】
解：（1）①如图2中，
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AB=AB′=AC′， ∵DB′=DC′， ∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°， ∴∠B′AC′=120°， ∴∠B′=∠C′=30°， ∴AD=
11AB′=BC， 221． 2故答案为
②如图3中，
∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°， ∴∠B′AC′=∠BAC=90°， ∵AB=AB′，AC=AC′， ∴△BAC≌△B′AC′， ∴BC=B′C′， ∵B′D=DC′， ∴AD=
11B′C′=BC=4， 22
故答案为4． （2）结论：AD=
1BC． 2理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M
∵B′D=DC′，AD=DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形， ∴AC′=B′M=AC，
∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°， ∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′， ∴△BAC≌△AB′M， ∴BC=AM， ∴AD=
1BC． 2（3）存在．
理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN． 连接DF交PC于O．
∵∠ADC=150°， ∴∠MDC=30°，
在Rt△DCM中，∵CD=23，∠DCM=90°，∠MDC=30°， ∴CM=2，DM=4，∠M=60°，
在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°， ∴EM=
1BM=7， 2∴DE=EM﹣DM=3， ∵AD=6，
∴AE=DE，∵BE⊥AD，
九年级几何模型压轴题单元测试题(Word版 含解析)
