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经济数学基础作业答案
1：判断f?x??x3?x奇偶性
1解：函数f?x??x3?x的定义域为(??,??),对于任意一个x?(??,??),有 所以f?x??x3?x为奇函数 2：判断函数y?2x2?1的单调性 2解 对任意的x1,x2?(??,??),且x1?x2，有f(x1)?f(x2)?2x12?1?(2x22?1)?2x?1?2x2?1?2(x?x2)212212 （1） 当x1,x2?(??,0]时，则f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?内是单调减少的。 （2）当x1,x2?[0,??)时，则f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?是单调增加的。 f(x2)，所以y?2x2?1在(??,0]f(x2)，所以y?2x2?1在[0,??)内
所以(??,??)内，y?2x2?1在[0,??)内不是单调函数。 3例如，y?sinxx?cosx,y?cosx2都是初等函数 3 解 初等函数在其定义域都是连续的。由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合而成的函数叫初等函数。 4下列函数是由哪些简单函数复合而成？ （1）y?lg(1?x2) （2）y?3cosx （3）y?arctan(1?1?x2) （4）
y?cos23x
4解：(1)因为函数y?lg(1?x2)的最后一步运算是对数运算，因此对数的真数部分的函数为中间变量u，即u?1?x2，则y?lg(1?x2)由y?lgu,u?1?x2复合而成。由于u?1?x2为多项式，可作为一个简单函数，所以没有复合过程。
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(2) y?3cosx的最后一步运算是指数运算，把指数部分作为中间变量u，即u?cosx，
则y?3cosx由y?3u,u?cosx复合而成。
（３）y?arctan(1?1?x2)的最后一步运算是反正切函数运算，于是中间变量
u?1?1?x2，即u是1与1?x2之和。1?x2又可看作幂运算，所以又把位于幂
函数底的函数作为中间变量v，即v?1?x2。因此，y?arctan(1?1?x2)是由y?arctanu，
u?1?v，v?1?x2复合而成。 （4）y?cos23x是由y?u2,u?cosv,v?3x复合而成 。 5解：销售收益R是价格P与销售量Q的乘积，即 将关系式P?10?代入，即可得到 6解 根据题意，改产品的成本函数为 收益函数为 R?R(Q)?Q?C?C(Q)?C0?C1(Q)?200?10Q Q5150?Q1??Q2?75Q 22所以利润函数为 7
(?1)...。 11110,1?,1?,1?,1?,...,1?2345n(?1)无限接近于常数0，所以其通项ynnnn当n无限增大时，由于?1?(?1)就无限nn接近与常数1，即该数列以1为极限，可记作 8 解 当n??时，f(n)?极限，即limn??1?0 n?1x1无限接近于一个确定的数n?10，所以0是数列??1??的?n?1?9解：函数y?(1的图形如图所示。由该图可看出 )21由极限limf(x)存在的充分必要条件知lim()不存在 2xx??x??精心整理
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10解 因为
2x2?53f(x)?2?2?2，所以当x??时，对应的函数值
x?1x?13无限接近于常数f(x)?2?2x?12，故
2x2?5lim2?2 x??x?111解：因为sin11?1,所以sin是有界变量；又lim?0,即x在x?0时为无穷xxx?0小量。所以，当x?0时xsin1是有界函数与无穷小量的乘积。根据性质2得，
x在时为无穷小量，即 ?x2)?0，即函数1?x2在x?1时为无穷小量，由定理得， 12 解 因为lim(1x?111时为无穷大量，所以 在x?1lim=? 22x?11?x1?x13解：lim(4x3?3x?2).?lim4x3?lim3x?lim2 x?1x?1x?1x?1x2?6x?7)?3(limx)2?6limx?lim7?7 14解 因为 lim(3x?2x?2x?2x?2 所以 x2?6x?7)73x2?6x?7lim(3lim?x?2? x?24x?9lim(4x?9)17x?2sin3xsin3x15解：limtan5x?lim3x?x?0x?0133?? tan5x555x216解 xx?2x?2sinsin2sin1?cosx2?1lim2?1?lim2??1 lim?lim??x?0x?0x2x22x?0(x)22?x?0x?22?2?217解 令 18解 令 19解
u??x，则当x??时，u??，所以 u=x，则当x??时，u??，于是 2
x?02limf(x)?lim(x?x)?0??x?0f(x)在x?0处有定义，且f(0)?4，但是
x?0?limf(x)?lim(2x?4)?4?x?0
因此 limf(x)?limf(x)，从而limf(x)不存在，所以点x?0是f(x)的间断点。 x?0x?0?x?0?20解：（1）在处，当自变量有改变量时，函数相应的改变量
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于是，由导数定义
f?(2)?lim?x?0f(2??x)?f(2)?x2?lim?12?6?x?(?x)??12????x?0?
（2）对任意点，当自变量的改变量为，因变量相应的改变量 于是，导函数
f?(x)?lim?x?0(x??x)?x?x33
222?lim?3x?3x??x?(?x)??3x????x?0?由上式f?(3)?3x2x?3?27. 注意到本例中，函数y?x3的导数y??(x3)??3x3?1?3x2。若n是正整数，对函数y?xn，类似的推导，有 特别地，当n?1时，有 21解：由代数和的导数法则 注意：cos是常数，其导数是0，避免错误：(cos4??4)???sin?4 22 解
y??(5xsinx)??5(xsinx)??5[(x)?sinx?x(sinx)?]?5(sinx?xcosx) 2x 23 解
y?sin2x?lnx?2sinxcosx?lnxy??2(sinxcosxlnx)??2[(sinx)'cosxlnx?sinx(cosx)'lnx?sinxcosx(lnx)'] 1?2(cos2xlnx?sin2xlnx?sinxcosx)x24解：将已知函数看成是有下列函数构成的复合函数： 于是
y??f?(u)??(x)?(sinu)?(3x)??cosu?3?3cos3x
注意：在求复合函数的导数时，若设出中间变量，已知函数要对中间变量求导数，所以计算式中出现中间变量，最后必须将中间变量以自变量的函数还原。
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25解 复合函数y?(2x2?7)10可以看作由函数y?u10与u?2x2?7复合而成，由复合函数求导法则得
y'?(u10)'?(2x2?7)'?10u9(4x)?40x(2x2?7)9
26解：先求一阶导数，在求二阶导数 当x?0时，y??27解
x?02?2ex(1?2x)2x?0?2。
y'??e?xcosx?e?x(?sinx)??e?x(cosx?sinx)y''?e?x(cosx?sinx)?e?x(cosx?sinx)?2e?xsinx y'''??2e?xsinx?2e?xcosx?2e?x(cosx?sinx)28解： 函数f(x)的定义域是(??,??)， 在区间(??,??)内，因f?(x)?0,且仅在x?1时f?(x)?0，故该函数在其定义域内单调增加 29解 函数f(x)?3x的定义域为(??,??)，导数f'(x)?13x32，除了不可导点x?0以
外，均有f'(x)?0，故f(x)?3x在区间(??,??)内单调增加。 30解：函数的定义域是(??,??). 由f?(x)?0得驻点x1?0,x2?6,x1?0,x2?6将函数的定义域分成三个部分区间(??,0),(0,6),(6,??)。列表判定极值 0 0 极大值 6 0 极小值 + - + 由表知，f(0)?2是极大值，f(6)??106是极小值 31解 函数
1?323f(x)?x?x的定义域为(??,??)，由导数f'(x)?1?x3?23x?1 3x可得驻点 x?1，不可导点x?0，据此对定义域(??,??)分段讨论，列表如下
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