函数的单调性与导数辅导教案 学生姓名 授课教师 教学课题 性别 年级 学科 数学 课时：2课时 上课时间 年 月 日 第（ ）次课 共（ ）次课 人教版 选修2-2第一章函数的单调性与导数 同步教案 知识目标：掌握利用导数判断函数在某个区间内的单调性；了解含参数的函数单调性讨论。 能力目标：培养学生的导数观念，培养学生观察、概括能力，以及类比的学习方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。 情感态度价值观：培养学生对待知识的科学态度和主动探索精神，激发学生学习激情，提高数学素养；通过导数的学习，可以对学生进行对立、统一的唯物主义思想教育。 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；初步了解含参数的函数的单调性讨论。 教学目标 教学重点与难点 教学过程 （一）函数的单调性与导数 知识梳理 1.一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 设函数在某个区间?a,b?内可导，如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增； 如果f?(x)?0，那么函数在这个区间内单调递减. 例题精讲 例1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1）f(x)?x?9x； （2）f(x)?（3）f(x)? 313x?3x2?8x?5； 31 x1
例2.求函数f(x)? lnx的单调区间. x例3.求函数f(x)?cosx的单调区间. 【方法技巧】 判断函数的单调性或求函数的单调区间时，首先确定函数的定义域，然后根据函数的单调性与其导函数的正负关系求解.注意函数的导函数有恒正或恒负的情况，同时，也要注意函数在其定义域内是否连续.特别的，如果函数在两个不同的区间都是单调递增（递减），切记不能将这两个区间用“”符号连起来，应分开来书写. 2巩固训练 1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1）f(x)?x?3x； （2）f(x)?cosx?x； （3）f(x)?x? 2.求函数f(x)?xlnx的单调区间. 32b(b?0).x （二）图像趋势问题 2
知识梳理 1.一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内的变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图像就“平缓”. 例题精讲 例1.如图所示，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象. 【方法技巧】 解决这类问题时，应先明确自变量与应变量的关系，结合导数的绝对值大小与原函数图象变化趋势的关系进行判断. 注意：当自变量与应变量的关系很难表示的时候，应从实际出发，理性分析. 巩固训练 3
1.如图：正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为A1B1，CD的中点， 点M是EF的动点，FM?x，过M、直线AB的平面将正方体分成上下两部分， 记下面那部分的体积为V(x)，则函数V(x)的大致图像为（ ） A. B. C. D. （三）含参数的函数单调性讨论 知识梳理 1在参数范围内讨论单调性的解题的主体思路或步骤： （1）先明确定义域（通常针对的是对数函数） （2）求导，这时需要判断导数在定义域范围内是否存在恒正或恒负的情况（对于二次函数型的通过判别式来明确分类讨论的主体框架，对于含有对数函数的，可能需要通过二次求导来判定）；即在定义域范围内恒单调递增或递减。 （3）当在定义域范围内导数有正有负，即存在极值点，这时令导函数的值为零，求出极值点（一般会含有2个极值点，这时要比较这2个极值点的相对大小，还有在定义域的相对位置） （4）根据参数的范围划分好单调区间 例题精讲 例1.试判断函数f(x)?x?ax?4x?a?R?的单调性. 32 例2.求函数f(x)?x?(a?2)x? 4
324x?a?R?的单调区间. 3
例3.求函数f(x)? 【方法技巧】 含参数的三次函数的单调性讨论 1.首先对函数进行求导（二次函数），判断参数范围内??0是否恒成立； 2.参数范围内，判别式?有正有负，则应对?的正负确定参数范围讨论函数的单调性； 3.参数范围内??0恒成立，则由f?(x)?0的根的大小确定参数范围讨论函数的单调性. 131x?(a?1)x2?ax?1?a?R?的单调区间. 32巩固训练 1.求函数f(x)?x? 2.试判断函数f(x)?alnx?x?(2a?1)x?a?0?的单调性. 233(1?a)x2?3ax?a?R?的单调区间. 2 课后作业 1. 函数f(x)?x?2(x?0)的单调减区间是（ ） x5
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