函数的奇偶性与周期性精选习题
一、选择题
1.(奇偶性与反函数结合求值)已知函数g?x??f?x??x是奇函数,当x?0时,函数f?x?的图象与函
2数y?log2x的图象关于y?x对称,则g??1??g??2??( ). A.-7
B.-9
C.-11
D.-13
2.(利用奇偶函数的对称性求值)已知函数f(x)?cos?2x?的和为 A.0
B.1
C.2
????x??1,则f(x)的最大值与最小值?2?x2?1D.4
3.(利用函数的奇偶性判断图象)函数f?x????2??1?sinx的图象大致形状为( ) x1?e??A. B.
C. D.
4.(利用奇偶性单调性比较大小)设函数f(x)是定义在实数集上的奇函数,在区间[?1,0)上是增函数,且
f(x?2)??f(x),则有( )
3213C.f(1)?f()?f()
32A.f()?f()?f(1)
131331D.f()?f(1)?f()
23B.f(1)?f()?f()
325.(利用奇偶性周期性求函数值)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x?5)?f(x?3),如果当
x?[0,4)时,f(x)?log2(x?2),则f(766)?( )
A.3
B.-3
C.2
D.-2
6.(利用奇偶性周期性判断方程根的个数)函数f?x?对于任意实数x,都f(?x)?f(x)与
1 / 9
f(1?x)?f(1?x)成立,并且当0?x?1时,f?x??x2.则方程f(x)?A.2020
B.2019
C.1010
x ?0的根的个数是( )
2019D.1009
7.(利用奇偶性周期性求字母范围)设f?x?是定义在R上的偶函数,对任意的x?R,都有
?1?f?2?x??f?2?x?,且当x???2,0?时,f?x?????1,若关于x的方程f?x??loga?x?2??0(a?1)?2?在区间??2,6?内恰有三个不同实根,则实数a的取值范围是( ) A.
二、填空题
8.(利用奇偶性解不等式)已知f?x?是R上的偶函数,且当x?0时,f?x??x?3x,则不等式
2x?43,48
?B.
?34,2
?C.
?43,2??
D.
?34,2??
f?x?2??2的解集为___.
9.(奇偶性与导函数结合)已知定义在???,0???0,???上的偶函数f?x?的导函数为f??x?,对定义域 内的任意x,都有2f?x??xf??x??2成立,则使得xf?x??4f?2??x?4成立的x的取值范围为_____.
2210(由函数图象判断周期性求函数值)如图,边长为1的正方形ABCD,其中边DA在x轴上,点D与坐标原点重合,若正方形沿x轴正向滚动,先以A为中心顺时针旋转,当B落在x轴上时,再以B为中心顺时针旋转,如此继续,当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时,则以该顶点为中心顺时针旋转.设顶点C(x,y)滚动时形成的曲线为y=f(x),则f(2019)=________.
2 / 9
函数的奇偶性与周期性精选习题解析
一、选择题
1.(奇偶性与反函数结合求值)已知函数g?x??f?x??x是奇函数,当x?0时,函数f?x?的图象与函
2数y?log2x的图象关于y?x对称,则g??1??g??2??( ). A.-7 【答案】C
【解析】∵x>0时,f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称; ∴x>0时,f(x)=2x;
∴x>0时,g(x)=2x+x2,又g(x)是奇函数;
∴g(﹣1)+g(﹣2)=﹣[g(1)+g(2)]=﹣(2+1+4+4)=﹣11. 故选C.
2.(利用奇偶函数的对称性求值)已知函数f(x)?cos?2x?的和为 A.0 【答案】C
【解析】对f?x?整理得,f?x??cos?2x?而易知y?sin2x,y?B.1
C.2
D.4
B.-9
C.-11
D.-13
????x??1,则f(x)的最大值与最小值?22?x?1????xx??1?sin2x??1 ?222?x?1x?1x都是奇函数, 2x?1x则可设g?x??f?x??1?sin2x?2,可得g?x?为奇函数,即g?x?关于点?0,0?对称
x?1所以可知f?x??g?x??1关于点?0,1?对称,
所以f?x?的最大值和最小值也关于点?0,1?,因此它们的和为2. 故选C项.
3.(利用函数的奇偶性判断图象)函数f?x????2??1?sinx的图象大致形状为( ) x1?e?? 3 / 9
A. B.
C. D.
【答案】A
1?ex?2??1?sinx??sinx, 【解析】f?x???xx1?e1?e??1?e?xex?11?exf??x???sin??x??x???sinx???sinx?f?x?, ?xx1?ee?11?e所以f?x?为偶函数,排除CD;
1?e2f?2???sin2?0,排除B,
1?e2故选:A
4.(利用奇偶性单调性比较大小)设函数f(x)是定义在实数集上的奇函数,在区间[?1,0)上是增函数,且
f(x?2)??f(x),则有( )
3213C.f(1)?f()?f()
32【答案】A
A.f()?f()?f(1)
131331D.f()?f(1)?f()
23B.f(1)?f()?f()
32【解析】Qf(x)为奇函数,
?f(?x)??f(x),
又Qf(x?2)??f(x)
?1??1??f????f???,f(1)??f(?1),
?3??3??3??1?f???f???2???f?2??2??1????, ?2? 4 / 9
又Q?1??1??11???0,且函数在区间[?1,0)上是增函数, 23?1??1??f(?1)?f????f????0,
?2??3??1??1???f(?1)??f?????f???
?2??3??3??1??f(1)?f???f??,
?2??3?故选A.
5.(利用奇偶性周期性求函数值)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x?5)?f(x?3),如果当
x?[0,4)时,f(x)?log2(x?2),则f(766)?( )
A.3 【答案】C
【解析】由f?x?5??f?x?3?,得f?x?8??f?x?,所以f?x?是周期为8的周期函数,当x?0,4?时,
B.-3
C.2
D.-2
?f?x??log2?x?2?,所以f?766??f?96?8?2??f??2?,又f?x?是定义在R上的偶函数所以f??2??f?2??log24?2.故选C。
6.(利用奇偶性周期性判断方程根的个数)函数f?x?对于任意实数x,都f(?x)?f(x)与
f(1?x)?f(1?x)成立,并且当0?x?1时,f?x??x2.则方程f(x)?A.2020 【答案】A
【解析】对任意实数x都有
f(x+2)=f[1+(1+x)]=f[1﹣(1+x)]=f(﹣x), 由于f(x)为偶函数,f(﹣x)=f(x) ∴f(x+2)=f(x)
∴函数f(x)是以2为周期的周期函数,且值域为0,1. 方程f?x??B.2019
C.1010
x?0的根的个数是( ) 2019D.1009
??xx?0的根的个数即函数f?x?图象与直线y?的交点个数, 20192019 5 / 9
函数的奇偶性与周期性精选习题(含解析)
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