------------- 二阶微分方程
1 可降阶的二阶微分方程 一、 形如
y???f(x) （6.7） 型的微分方程
形如（6.7）式的微分方程是最简单的二阶微分方程，可以通过方程两边两次积分求解。 【例题1】
求微分方程y???12xe?sinx 的通解? 2解 对所给方程接连积分二次? 得
1y??e2x?cosx?C1?
411y?e2x?sinx?C1x?C2?
82这就是方程的通解?
【例题2】
质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动? 设力F仅是时间t
函数?F?F(t)? 在开始时刻t?0时F(0)?F0? 随着时间t的增大? 此力F均匀地减小? 直到t?T时? F(T)?0? 如果开始时质点位于原点? 且初速度为零? 求这质点的运动规律?
解 设x?x(t)表示在时刻t时质点的位置? 根据牛顿第二定律? 质点运动的微分方程为
2dx?F(t)? m2dt由题设? 力F(t)随t增大而均匀地减小? 且t?0时? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又当t?T时?
F(T)?0? 从而
F(t)?F0(1?t)?
T于是质点运动的微分方程又写为
d2x?F0(1?t)?
Tdt2m其初始条件为x|t?0?0?
dx|?0?
dtt?0dx?F0(t?t2)?C?
1dtm2T 把微分方程两边积分? 得
再积分一次? 得
F012t3x?(t?)?C1t?C2?
m26T由初始条件x|t?0?0? 得
dx|?0?
dtt?0c1?c2?0
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于是所求质点的运动规律为
F012t3x?(t?)? 0?t?T?
m26T
二、形如
y???f(x,y?) （6.8） 型的微分方程。
形如（6.8）式的微分方程特点是右端不含有y。若设
y??p
则方程化为
p??f(x,p)
这是自变量为x、未知函数为p?p(x)的一阶微分方程。因此可用上一节的方法求解。而后通过积分求出y的表达式。
【例题3】
求微分方程
(1?x2)y????xy?
满足初始条件yx?0?1，y?x?0?3的特解?
解 所给方程是（6.8）型的? 设y??p 代入方程并分离变量后? 有
dp2x?dx? p1?x2两边积分? 得
lnp?ln(1?x2)?c
即
2c p?y??c?(1?x) 其中 c1??e
由条件
y?x?0?3
得
c1?3 所以
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y??????x2)
两边再积分? 得
y?x3?3x?c2 又由条件
yx?0?1，
得
c2?1
于是所求的特解为
y?x3?3x?1
三、形如
y???f(y,y?? （6.9） 的微分方程
形如（6.9）式的微分方程的特点是等式右边没有自变量x，若设y??p 则有
y???方程（6.9）化为
dpdpdydp???p? dxdydxdypdp?f(y,p)? dy这是一个关于自变量为y，未知函数p?p(y)的一阶微分方程。若得到p?p(y)的表达式，则可以利用分离变量法，求出y?y(x)的表达式。
【例题4】
求微分方程yy???y??0的通解?
2 解 设y??p，则y???p代入方程? 得
dp? dyypdp2?p?0? dy-------------
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时? 约去p并分离变量? 得
在y?0，p?0dpdy?? py两边积分得
lnp?lny?lnc
整理得
p?cy
即
y??cy ?
分离变量后两边积分? 便得原方程的通解为
lny?cx?lnc1
即
y?cec2x
其中c，c2为任意实数 §6.3.2二阶常系数齐次线性微分方程 形如
y???p(x)y??q(x)y?f(x) (6.10) 的二阶微分方程,称为二阶线性微分方程,其中p(x),q(x),f(x)都是x的已知函数. （1） 当f(x)?0时,方程
y???p(x)y??q(x)y?0 (6.11) 称为二阶线性齐次微分方程;
（2）当f(x)?0时,方程（6.10）称为二阶线性非齐次微分方程.
本节我们主要介绍二阶常系数线性齐次方程的通解形式,关于其它形式的二阶方程，由于求解较为繁难,我们在此不涉及.
一、二阶线性齐次微分方程解的结构 二阶线性齐次微分方程解的结构有如下定理.
定理6.1 若y1(x)与y2(x)是二阶线性齐次微分方程(6.11)的两个解,c1,c2是任意常数,则y?c1y1(x)?c2y2(x)也是方程(6.11)的解. -------------
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证明 根据定理,假设有 y1???p(x)y1??q(x)y1?0, y2???p(x)y2??q(x)y2?0. 分别用C1,C2乘上面两式并相加,得
c1[y1''?p(x)y1??q(x)y1]?c2[y2???p(x)y2??q(x)y2]?0
即 [c1y1?c2y2]???p(x)[c1y1?c2y2]??q(x)[c1y1?c2y2]?0 这就是说, y?c1y1(x)?c2y2(x)是方程y???p(x)y??q(x)y?0的解.
从形式上看,y?c1y1(x)?c2y2(x)中包含两个任意常数,而方程y???p(x)y??q(x)y?0又是二阶的,那么,它是否就是该方程的通解呢?我们的回答是不一定.这还要看这两个任意常数能否合并成一个任意常数.
例如,假设y1?x,y2?3x是某个齐次微分方程的两个解,则
c1y1?c2y2?c1x?3c2x?cx
也是齐次方程的一个解,但是由于两个常数合并成了一个任意常数,它就不能构成通解了.
一般地,设y1,y2是两个函数,若
y1?k，（k为非零常数），则称y1与y2是线性相关的;y2若
y1?k则称y1与y2是线性无关的.因此我们有如下定理. y2定理6.2 如果y1(x)与y2(x)是二阶线性齐次微分方程(6.11)的两个线性无关的特解,则
y?C1y1(x)?C2y2(x)就是所求方程(6.11)的通解.
例如,可以验证
y1?e?x与y2?xe?x都是二阶线性齐次微分方程y???2y??y?0的
解,且
y1?x不为常数,即y1?e?x与y2?xe?x线性无关,所以y1与y2的线性组合y2y?C1e?x?C2xe?x就是方程y???2y??y?0的通解.
二、二阶常系数线性齐次微分方程的通解表示
由定理6.2可知,求方程(6.10)通解的关键在于找出它的两个线性无关的解y1与y2. 而方程(6.11)可以看出,y,y?,y??必须是同类型的函数才可能使等式右端等于零,又指数函
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