第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．曲线的切线和曲线有且只有一个公共点 B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线 D．若y＝f(x)在点(x0，f(x))处有切线，则f′(x0)不一定存在
解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A、B错误；
f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x))的切线的斜率不存在，但切线可能存在，此时切
线方程为x＝x0，故C错误，D正确．
答案：D
2．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则( ) A．f′(x0)>0 C．f′(x0)＝0
B．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在
解析：因为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率，又切线2x－y＋1＝0的斜率为2，所以f′(x0)＝2>0.
答案：A
3．若曲线f(x)＝ax在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( ) 11
A．1 B. C．－ D．－1
22解析：因为f′(1)＝
2
2
a（1＋Δx）2－a×12
＝
Δx (2a＋aΔx)＝2a，
2aΔx＋a（Δx） ＝
Δx所以 2a＝2，所以 a＝1. 答案：A
1?1?4．y＝－在点?，－2?处的切线方程是( ) x?2?A．y＝x－2 C．y＝4x－4
1
B．y＝x－
2D．y＝4x－2
- 1 -
1
解析：先求y＝－的导数：Δy＝－
x11ΔxΔy1
＋＝，＝，x＋Δxxx（x＋Δx）Δxx（x＋Δx）
Δy＝Δx
1111?1?＝2，即y′＝2，所以y＝－在点?，－2?处的切线斜率为k＝y′|xx（x＋Δx）xxx?2?
1?1?＝＝4.所以切线方程是y＋2＝4?x－?，
2?2?
即y＝4x－4. 答案：C
5．曲线y＝f(x)＝x在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为( ) A．(－2，－8) C．(2，8)
解析：设点P的坐标为(x0，y0)， 则k＝f′(x0)＝
B．(－1，－1)或(1，1) 1??1
D.?－，－?
8??2
3
f（x0＋Δx）－f（x0）
＝＝
Δx2
2
（x0＋Δx）－x0 ＝
Δx33
[(Δx)＋3x0＋3x0·Δx]＝3x0.
因为k＝3，所以 3x0＝3，所以 x0＝1或x0＝－1， 所以 y0＝1或y0＝－1.
所以 点P的坐标为(－1，－1)或(1，1)． 答案：B 二、填空题
6．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于________．
解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3. 答案：3
12
7．曲线f(x)＝x的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为________．
2
1122
（x＋Δx）－x22＝＝x.因为直线x－y＋1＝0的斜率为1，所以xΔx2
2
解析：f′(x)＝
1111?1?＝1，所以f(1)＝×1＝，切点为?1，?.故切线方程为y－＝1·(x－1)，即x－y－＝0. 2222?2?
1
答案：x－y－＝0
2
- 1 -
1
8．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)
2＝________．
115
解析：由导数的几何意义，得f′(1)＝，又切点在切线上，故f(1)＝×1＋2＝，所
222以f(1)＋f′(1)＝3.
答案：3 三、解答题
9．在抛物线y＝x上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解：y′＝
（x＋Δx）－x ＝
Δx2
2
2
(2x＋Δx)＝2x.
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0， 则
2
＝2x0＝4，解得x0＝2.
所以y0＝x0＝4，即P(2，4)．
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0， 则
11
＝2x1＝－，解得x1＝－.
48
1?11?2
所以y1＝x1＝，即Q?－，?.
64?864?
?11?2
故抛物线y＝x在点(2，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点?－，?处的切线垂
?864?
直于直线4x－y＋1＝0.
10．已知曲线y＝
1?1?上两点P(2，－1)，Q?－1，?. 2?t－x?
(1)求曲线在点P，Q处的切线的斜率； (2)求曲线在点P，Q处的切线方程． 解：将(2，－1)代入y＝1
所以y＝.
1－xΔy Δx1
，得t＝1， t－xy′＝
＝
11
－
1－（x＋Δx）1－x Δx- 1 -
＝
Δx
[1－（x＋Δx）]（1－x）Δx＝＝
1
（1－x－Δx）（1－x）1
2.
（1－x）
1
(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝曲线在点Q处的切线斜率为y′|x2＝1；
（1－2）
＝－1
1＝. 4
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0，曲线在点Q处的切线
11
方程为y－＝[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.
24
B级 能力提升
1．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x＋ax＋b相切于点(1，3)，则b的值为( ) A．3 B．－3 C．5 D．－5
解析：点(1，3)既在直线上，又在曲线上．由于y′＝
（x＋Δx）＋a（x＋Δx）＋b－（x＋ax＋b）2 ＝3x＋a，所以y′|x＝1＝3＋a＝k，
Δx将(1，3)代入y＝kx＋1，得k＝2，所以a＝－1，又点(1，3)在曲线y＝x＋ax＋b上，故1＋a＋b＝3，又由a＝－1，可得b＝3.
答案：A
9
2．曲线f(x)＝在点(3，3)处的切线的倾斜角等于________．
3
3
3
3
x解析：f′(x)＝
f（x＋Δx）－f（x）
＝9
Δx11
－x＋Δxx ＝－9
Δx
199
＝－2，所以 f′(3)＝－＝－1，又因为直线的倾斜角范围是[0°，180°)，所
（x＋Δx）xx9以 倾斜角为135°.
答案：135°
3．设函数f(x)＝x＋ax－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
解：因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)＋a(x0＋Δx)－9(x0＋Δx)－1－(x0＋ax0
－9x0－1)＝(3x0＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)＋(Δx)＋(Δx)，
2
2
2
3
3
2
3
2
3
2
- 1 -
所以ΔyΔx＝3x2＋2ax2
00－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx).
当Δx无限趋近于0时， ΔyΔx无限趋近于3x2
0＋2ax0－9， 即f′(x2
0)＝3x0＋2ax0－9， 所以f′(xa2
a2
0)＝3(x0＋3)－9－3. 当xa0＝－3
时，
f′(x0)取最小值－9－a2
3
.
因为斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行， 所以该切线斜率为－12. 所以－9－a2
3＝－12.
解得a＝±3.又a＜0， 所以a＝－3.
- 1 -
高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.1-3.1.3导数的几何意义 Word版含答案
