高中导数知识点归纳
一、基本概念 1. 导数的定义：
设 x0 是函数 y ? f (x) 定义域的一点，如果自变量 x 在 x0 处有增量?x ，则函数值 y 也引起相应
?y f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ? 称为函数 y ? f (x) 在点 x 到 x ? ?x 之间
0?x ?x 0 0 0
f (x ? ?x) ??y
f (x0 ) 0存在，则称函数 y ? f (x) 在点 x 处可导， 的平均变化率；如果极限 lim ? lim
0 ?x?0 ?x ?x?0 ?x
的增量?y ? f (x ? ?x) ? f (x ) ；比值
并把这个极限叫做 y ? f (x) 在 x0 处的导数。
f ?x?在点 0 处的导数记作 xy? x? x0
? f ?(x ) ? lim0
f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x
?x?0
2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）
函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f (x) 在点(x0 , f (x)) 处的切线的斜率，也
就是说，曲线 y ? f (x) 在点 P (x0 , f (x)) 处的切线的斜率是 f ' (x0 ) ，切线方程为 y ? y0 ? f ' (x)(x ? x0 ). 3．基本常见函数的导数:
① C? ? 0;（C 为常数） ③ (sin x)? ? cos x ;
② xn ? nxn?1; ④ (cos x)? ? ?sin x ; ⑥ (ax )? ? ax ln a ; ⑧ ?l o g x?? ? log e .
a
???
⑤ (ex )? ? ex ; ⑦ ?ln x?? ? ; 二、导数的运算
1 1
x x
a
1. 导数的四则运算：
法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
f ?x?? g ?x??? ? f ??x?? g??x??? 即：
法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：
? ? f ??x?g ?x?? f ?x?g??x??f ?x?? g ?x? ??
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cf (x))' ? Cf ' (x). ( C 为常数)
法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以
? f ?x??? f ??x?g ?x?? f ?x?g??x??
?
? ??2 g ?x?? ?? g ?x?? 分母的平方： ?
2. 复合函数的导数
?g ?x?? 0??
。
形如 y ? f [三、导数的应用
(x)]的函数称为复合函数。法则： f ?[(x)]? f ?(
)*?(x) .
1. 函数的单调性与导数
（1） 设函数 y ? f (x) 在某个区间(a, b) 可导，
如果 f ' (x) ? 0 ，则 f (x) 在此区间上为增函数； 如果 f ' (x) ? 0 ，则 f (x) 在此区间上为减函数。
（2） 如果在某区间内恒有 f ' (x) ? 0 ，则 f (x) 为常函数。 2. 函数的极点与极值：当函数 f (x) 在点 x0 处连续时，
①如果在 x0 附近的左侧 f ' (x) ＞0，右侧 f ' (x) ＜0，那么 f (x0 ) 是极大值；
②如果在 x0 附近的左侧 f ' (x) ＜0，右侧 f ' (x) ＞0，那么 f (x0 ) 是极小值.
3. 函数的最值：
一般地，在区间[a, b] 上连续的函数 f (x) 在[a, b] 上必有最大值与最小值。函数 f (x) 在区间
[a, b]上的最值 只可能在区间端点及极值点处取得。
求函数 f (x) 在区间[a, b]上最值的一般步骤：①求函数 f (x) 的导数，令导数 f ' (x) ? 0 解
出方程的跟②在区间[a, b] 列出 x, f ' (x), f (x) 的表格，求出极值及 f (a)、f (b)的值;③比较端点及
极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值
4. 相关结论总结：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 四、例题插播
例 1：函数 f (x) ? x3 ? ax 2 ? 3x ? 9, 已知 f (x)在x ? ?3 时取得极值，则a = ( )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析]：∵ f / (x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3 ，又 f (x)在x ? ?3 时取得极值∴ f / (?3) ? 30 ? 6a ? 0 则a =5 例 2. 已知函数 f (x) ? x3 ? bx 2 ? ax ? d 的图像过点 P（0,2）,且在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程为6x ? y ? 7 ? 0 .（Ⅰ）求函数 y ? f (x) 的解析式；（Ⅱ）求函数 y ? f (x) 的单调区间. 答案：（Ⅰ）解析式是 f (x) ? x3 ? 3x 2 ? 3x ? 2.
（Ⅱ）在(1 ? 2,1 ? 2) 内是减函数，在(1 ? 2,??) 内是增函数.
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