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专题十一 概率与统计
第三十六讲二项分布及其应用、正态分布
一、选择题
221．（2015湖北）设X:N(?1,?1)，Y:N(?2,?2)，这两个正态分布密度曲线如图所
示．下列结论中正确的是
A．P(Y≥?2)≥P(Y≥?1) B．P(X≤?2)≤P(X≤?1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
2．（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0,3)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为
（附：若随机变量?服从正态分布N(?,?)，则P(?????????)?68.26%，
22P(??2??????2?)?95.44%）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
3．（2014新课标2）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，
连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．45
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4.（2011湖北）已知随机变量?服从正态分布N2,??2?，且P???4??0.8，则
P?0???2??
A．0.6 二、填空题
5．（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放
回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则DX= ．
6．（2016四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次
试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 ．
7．（2015广东）已知随机变量?服从二项分布??n,p?，若?????30，D????20，
则p? ．
8．（2012新课标）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工
作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N(1000,50)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使
2 B．0.4 C．0.3 D．0.2
用寿命超过1000小时的概率为 ．
元件3元件1元件2 三、解答题
9．（2017新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线
上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(?,?)．
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(??3?,??3?)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(??3?,??3?)之外的零件，就认为这条生
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2.
产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95 10．12 9．96 9．96 10．01 9．92 9．98 10．04 10．26 9．91 10．13 10．02 9．22 10．04 10．05 9．95 11611611622xi?9.97，s?经计算得x?(xi?x)?(?xi?16x2) ??16i?116i?116i?1?0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
?，用样本标准差s作为?的估计值??，利用用样本平均数x作为?的估计值?估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除剩下的数据估计?和? (精确到0．01)．
附：若随机变量Z服从正态分布N(?,?)，则P(??3??Z???3?)=0．997 4，
2之外的数据，用
0.997416?0.9592，0.008?0.09．
10．（2016新课标Ⅱ）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为
续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 保 费 0 0.85a 1 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 概 率 0 0.30 1 0.15 2 0.20 3 0.20 4 0.10 ≥5 0.05 （Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
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（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
11．（2015湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽
奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的
分布列和数学期望．
12．（2015湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜
牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W P 12 0.3 15 0.5 18 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量． （Ⅰ）求Z的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过
10000元的概率．
13．（2015新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调
查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
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A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满
意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
14．（2014山东）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随
即结束．除第五局甲队获胜的概率是各局比赛结果互相独立．
（1）分别求甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率
（2）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜
利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
15．（2014陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场
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12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是．假设23
高考真题突破：二项分布及其应用、正态分布
