第6章 内压薄壁壳体的应力分析
6-1 圆锥形壳体的中间面由一与对称轴成α角（称为半顶角）的直线段为母线绕对称轴回转而成，若已知经线上任一点的平行圆半径r，试导出经线上任一点第一曲率半径R1和第二曲率半径R2的表达式。
解：由于圆锥壳的经线为直线，所以，第一曲率半径R1
穷大，第二曲率半径R2可由图示几何关系导出，即
R2?r cos?6-2 椭球形壳体的经线为一椭圆曲线。试证明椭球形壳体经线上任一点的第一曲率半径、第二曲率半径的计算公式如下：
[a4?r2(a2?b2)]1/2[a4?r2(a2?b2)]3/2R1?， R2? 4bab证：经线上任一点的第一曲率半径由下式决定：
??dz?2??1?????dr?????R1?d2zdr23/2（1）
第二曲率半径根据图示几何关系，有
R2?由椭圆方程
r （2） sin?r2z2?2?1 2ab可计算出式（1）和式（2）中的各量，即
dzb2rb2[a4?r2(a2?b2)]?dz???2， 1???? 42drazaz?dr?222dz??brbz?r??z?2d2zb2b4dr??az????2???23 2222drazazaz2将以上各式代入式（1），得：
??dz?2??1?????dr?????R1?d2zdr23/2b3a4?r2(a2?b2)?b4a2z32??3/2/(a6z3)[a4?r2(a2?b2)]3/2?a4bdz sin??tg?/1?tg??dr将此式代入（2）式，得
dz1?dr2b2r?2azb2a4?r2(a2?b2)
a4z2??r[a4?r2(a2?b2)]1/2R2??。
sin?b证毕。
6-3 一压力容器由圆筒形壳体、两端为椭圆形封头组成，已知圆筒内直径为Di=2000mm，厚度?=20mm，所受内压p=2MPa，试确定：
（1）圆筒形壳体上的经向应力和周向应力各是多少？
（2）如果椭圆形封头a/b的值分别为2、2和3时，封头厚度为20 mm，分别确定封头上顶点和赤道点的经向应力与周向应力的值，并确定压应力的作用范围（用角度在图上表示出来）。
（3）若封头改为半球形，与筒体等厚度，则封头上的经向应力和周向应力又为多少？ 解：（1）经向应力：???pD2?2000??50MPa （1） 4?4?20周向应力：???2???100MPa （2） （2）由于圆筒内直径为2000mm，所以，封头长半轴a=1000mm. 顶点处两向薄膜应力相等，即
??r?0???r?0pa22?1000a50a??? （3） 2?b2?20bb赤道点的两向薄膜应力如下：
??r?a?pa2?1000??50MPa （4） 2?2?20?????[2?()2] （5）
将a/b的值2、2和3分别代入（3）式和（5）式，就可得到顶点处和赤道处两向薄膜应力的相应值，具体过程略。
当a/b=2时，赤道点的环向应力为零，其他点的两向薄膜应力都大于零，即不存在压应力。
当a/b的值为2和3时，在赤道附近点的环向应力为压应力，其作用范围由下式决定：
ab???0???(2?R2R)?0?2?2 （6） R1R1将第一和第二曲率半径的计算公式代入上式，整理后，得：
a4r(a?b)?， r?2222a(a/b)2[(a/b)?1]2 （7）
sin??rb2r??42221/22[a?r(a?b)]a/b1000?22(2?1)1000?32(3?1)221(a/b)?112?113?122 （8）
当a/b=2时，r?sin???816.5mm，
2?0.5774，??35.26?；
当a/b=3时，r??750.0mm。sin???0.3536，??20.7?
（a） （b）
图（a）和图（b）表示了这两种情况周向压应力的作用范围，即周向应力为零的点至赤
过程装备基础第6。7.8章习题解
