第三章--多维随机变量及其分布总结
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第三章 多维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量
一、二维随机变量的分布函数
设E是一个随机试验, 它的样本空间是S. 设X、Y是定义在S上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X, Y)称为二维随机向量或二维随机变量.
一般地, (X, Y)的性质不仅与X有关, 与Y有关, 而且还依赖于X、Y的相互关系, 因此必须把(X, Y)作为一个整体来研究.
首先引入(X, Y)的分布函数的概念.
定义 设(X, Y)为二维随机变量, 对于任意实数x、y, 二元函数
F(x, y) = P{(X ? x)∩(Y ? y)}= P{X ? x, Y ? y}
称为二维随机变量(X, Y)的分布函数, 或称为随机变量X和y的联合分布函数.
分布函数F(x, y)表示事件(X ? x)与事件(Y ? y)同时发生的概率. 如果把(X, Y)看成平面上具有随机坐标(X, Y)的点, 则分布函数F(x, y)在(x, y)处的函数值就是随机点(X, Y)落在平面上的以(x, y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率..
由上面的几何解释, 容易得到随机点(X, Y)落在矩形区域{x1 < X ? x2, y1 < Y ? y2}的概率为
P{x1 < X ? x2, y1 < Y ? y2} = F(x2, y2) ? F(x2, y1) ? F(x1, y2) + F(x1, y1)
与二元函数类似, 二元分布函数F(x, y)也具有如下一些性质:
1? F(x, y)是变量x和y的单调不减函数, 即当x1 < x2时, F(x1, y) ? F(x2, y); 当y1 < y2时, F(x, y1) ? F(x, y2). 2? 0 ? F(x, y) ? 1, 且F(??, y) = 0, F(x, ??) = 0, F(??,??) = 0, F(+?,+?) = 1.（凡含??的概率分布为0） 3? F(x, y)关于x和y都是右连续的, 即F(x + 0, y) = F(x, y), F(x, y + 0) = F(x, y).
4? 对任意的(x1, y1)、(x2, y2), x1 < x2, y1 < y2, 有F(x2, y2) ? F(x2, y1) ? F(x1, y2) + F(x1, y1) ? 0.
注: 二元分布函数具有性质1?~ 4?, 其逆也成立(2?中0 ? F(x, y) ? 1可去), 即若二元实值函数F(x, y)(x ? R, y ? R)满足1?~ 4?, 则F(x, y)必是某二维随机变量的(X, Y)的分布函数. 其中4?是必不可少的, 即它不能由1?~ 3?推出(除去0 ? F(x, y) ? 1). 二、二维离散型随机变量
如果二维随机变量(X, Y)的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X, Y)是二维离散型随机变量.
设二维离散型随机变量(X, Y)所有可能取的值为(xi, yj) (i , j= 1, 2, 3, …). 记P{X = xi, Y = yj} = pij (i , j= 1, 2, 3, …)则由概率定义有 pij ? 0;
(1)
??pi?1j?1??ij?1.
我们称P{X = xi, Y = yj} = pij (i , j= 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律(概率分布)或随机变量X和Y的联合分布律, (X, Y)的分布律也可用表格表示. 其分布函数为
F(x,y)?这里
xi?xyj?y??P{X?x,Y?y}=??pijxi?xyj?yij
xi?xyj?y??表示对一切xi ? x, yj ? y的那些指标i、j求和.
例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X、Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X、Y的联合分布律与分布函数..
解: (X, Y)的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P{X = 1, Y = 2}= P{X = 1}P{Y = 2 / X = 1}=
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同理, 有 P{X = 2, Y = 1}= , P{X = 2, Y = 2}=. 即(X, Y)的分布律如右表所示.
当x < 1, 或y < 1时, F{x, y} = 0; 当1 ? x < 2, 1 ? y <2时, F{x, y} = 0;
当1 ? x < 2, y ? 2时, F{x, y} = p11?p12?当x ? 2, y ? 2时, F{x, y} = 1.
131311; 当x ? 2, 1 ? y <2时, F{x, y} =p11?p21?; 33??1?x?2,0,x?1或y?1或???1?y?2,??1?1?x?2,?x?2,或?所以, (X, Y)的分布函数为F(x,y)??,?
y?21?y?2,3???x?2,y?2.?1,??三、二维连续型随机变量
设二维随机变量(X, Y)的分布函数为F{x, y}, 若存在非负函数f (x, y), 使对任意的x、y有
F(x,y)?????yx??f(u,v)dudv，
则称(X, Y)为连续型的二维随机变量, f (x, y)称为二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度, 或称随机变量X、Y的联合概率密度.
概率密度f (x, y)具有以下性质: 1? f (x, y) ? 0; 2?
??????????f(x,y)dxdy?F(??,??)?1
?2F(x,y)?f(x,y) 3? 若f (x, y)在点(x, y)处连续, 则有
?x?y4? 设G是xOy平面上的一个区域, 则点(X, Y)落在G内的概率为P{(X,Y)?G}???f(x,y)dxdy (2)
G?2Ae?(x?y),x?0,y?0,例2 设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为f(x,y)??
0,其它.?求: (1) 系数A; (2) 分布函数F(x, y); (3) 概率P{(X, Y)?D}, 其中D: x ? 0, y ? 0, x + y ? 1.
解: (1) 由
????y??????f(x,y)dxdy?1, 得A?x1. 2(2) F(x,y)????????(x?y)edxdy=?????f(x,y)dxdy?10??00y?x?ye?(x?y)dxdy,x?0,y?0,?(1?e)(1?e),x?0,y?0,=? 00,其它.?0,其它,x(3) P{(X,Y)}???D??dx1?xe?xe?ydxdy?1?2. e?2xy?x?,0?x?1,0?y?2,例3 设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为f(x,y)?? , 求P{Y ? X}. 3?其它,?0,
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