高一数学空间中的垂直关系人教实验B版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
空间中的垂直关系
二、学习目标
1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；
2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；
3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。
三、知识要点
1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。
2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：
①判定定理： a??,b??,a?b?P, l?a,l?b?l??. ② b⊥α, a∥b?a⊥α；（线面垂直性质定理） ③α∥β,a⊥β?a⊥α（面面平行性质定理）
④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a?β?a⊥α（面面垂直性质定理） 3、直线与平面垂直的性质定理：
①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（ a⊥α，b⊥α?a∥b） ②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（a??,b???a?b）
4、点到平面的距离的定义： 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。
特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。 5、平面与平面垂直的定义及判定定理：
（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。
记作：平面α⊥平面β
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 （简称：线面垂直，面面垂直）
6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直，线面垂直。）
思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种
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办法。
【典型例题】
例1、（1）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（ ） A、m⊥n，m∥α，n∥β B、m⊥n，α∩β=m，n?α C、m∥n，n⊥β，m?α D、m∥n，n⊥β，m⊥α （2）设a、b是异面直线，给出下列命题： ①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b； ②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b； ③存在分别经过直线a和b的两个平行平面； ④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。 其中错误的命题为（ ） ．．．
A、①与② B、②与③ C、③与④ D、仅②
（3）已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么， 甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；丁：m⊥β且n⊥α。这四个结论中，不正确．．．的三个是（ ） 解：（1）对于A，平面α与β可以平行，也可以相交，但不垂直。 对B，平面α内直线n垂直于两个平面的交线m，直线n与平面β不一定垂直，平面α、β也不一定垂直。
对D，m⊥α，m∥n则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β。
只有C正确，m∥n，n⊥β则m⊥β又m?α，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β。 故选C。 （2）①正确，过a上任一点作b的平行线b′，则ab′确定唯一平面。
②错误，假设成立则b⊥该平面，而a?该平面，∴a⊥b，但a、b异面却不一定垂直。 ③正确，分别过a、b上的任一点作b、a的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求。
④正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅②错误
选D
（3）丙正确。举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m（或n），在另一平面作交线的垂线n（或m）即可推翻甲、乙、丁三项。
思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。
例2、如图，ABCD 为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面ABCD。PA=a。
（1）求证：PC⊥CD。
（2）求点B到直线PC的距离。
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（1）证明：取AD的中点E，连AC、CE， 则ABCE为正方形，ΔCED为等腰直角三角形， ∴AC⊥ CD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴AC为PC在平面ABCD上的射影， ∴PC⊥CD
（2）解：连BE，交AC于O，则BE⊥AC， 又BE⊥PA，AC∩PA= A， ∴ BE⊥平面PAC
过O作OH⊥PC于H，则BH⊥PC， ∵PA=a，AC=2a,PC=3a， ∴ OH=1?a?2a?6a，
263a∵BO=2a，
2∴BH=BO2?OH2?6a即为所求。
3
例3、在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC
（1）若D是BC的中点，求证 AD⊥CC1； （2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证 截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
（3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？ 请你叙述判断理由。
命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。 知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质。 错解分析：（3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出。
技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的
思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线。
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（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC
∵底面ABC⊥侧面BB1C1C， ∴AD⊥侧面BB1C1C ∴AD⊥CC1
（2）证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N ∵AM=MA1， ∴NA1=A1B1 ∵A1B1=A1C1， ∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C， ∴C1N⊥侧面BB1C1C
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C
（3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明， 下面证必要性。
过M作ME⊥BC1于E， ∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C ∴ME⊥侧面BB1C1C， 又∵AD⊥侧面BB1C1C ∴ME∥AD，
∴M、E、D、A共面 ∵AM∥侧面BB1C1C， ∴AM∥DE ∵CC1⊥AD， ∴DE∥CC1
∵D是BC的中点， ∴E是BC1的中点
∴AM=DE=CC1?121AA1， 2∴AM=MA1
即AM?MA1是截面MBC1?平面BB1C1C的充要条件
例4、如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH
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分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H
（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由 （2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时， 平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明
（1）证明：∵AD//面EFGH,
面ACD∩面EFGH＝HG，AD?面ACD ∴ AD//HG.
同理EF∥HG，
∴EFGH是平行四边形 ∵A—BCD是正三棱锥，
∴A在底面上的射影O是△BCD的中心， ∴DO⊥BC， ∴AD⊥BC，
∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形 （2）作CP⊥AD于P点，连结BP， ∵AD⊥BC， ∴AD⊥面BCP ∵HG∥AD，
∴HG⊥面BCP，HG?面EFGH 面BCP⊥面EFGH， 在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=AB=a,
∴AP=
3a 2
例5、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE。求证：
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高一数学空间中的垂直关系人教实验B版知识精讲
